Представление дискретных сигналов и систем в частотной области.

В установившемся состоянии отклик линейной стационарной системы на синусоидальный сигнал является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой.

Чтобы убедиться в справедливости этого для дискретных систем, предположим, что входная последовательность является комплексной экспонентой круговой частоты , .

Тогда получим выходной сигнал:

(1.20)

Если ввести

,

(1.21)

то можно записать

(1.22)

Отсюда видно, что описывает изменение комплексной экспоненты как функции частоты . Величина называется частотной характеристикой системы.

Поскольку синусоиду можно представить как линейную комбинацию комплексных экспонент, то частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал. А именно, рассмотрим

(1.23)

Из (1.22) отклик на равен . Если действительная функция, то отклик на является комплексно-сопряженным откликом на . Поэтому результирующий отклик равен

(1.24)

или

,

(1.25)

где - значение фазочастотной характеристики.

Частотная характеристика является непрерывной функцией частоты. Кроме того, это периодическая функция частоты с периодом . Это свойство следует непосредственно из (1.22), так как . То, что частотная характеристика имеет одинаковые значения на частотах и , означает, что система реагирует одинаково на комплексные экспоненты этих двух частот. Такое поведение понятно, так как эти две экспоненциальные последовательности совпадают друг с другом.

Поскольку - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.22) и представляет в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики . Отсюда следует, что могут быть определены через как коэффициенты Фурье периодической функции, т.е.

,

(1.26)

где

.

(1.27)

Таким образом, (1.26) и (1.27) являются парой преобразований Фурье для последовательности , где (1.27) играет роль прямого, а (1.26) обратного преобразования Фурье. Такое представление существенно только тогда, когда (1.27) сходится.

Для произвольной последовательности определим преобразование Фурье соотношением:

,

(1.28)

а обратное преобразование Фурье соотношением:

.

(1.29)

Ряды (1.28) не всегда сходятся. Имеются различные определения и интерпретации сходимости преобразования Фурье. Если абсолютно суммируема, т.е. если , то ряд называется абсолютно сходящимся и сходится равномерно к непрерывной функции .

Если рассматривать (1.29) как суперпозицию комплексных экспонент бесконечно малой амплитуды, то отклик на является суперпозицией откликов на каждую экспоненту, входящую в представление сигнала . Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на , то

.

(1.30)

Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно

.

(1.31)

Этот результат имеет свой аналог в теории линейных систем с непрерывным временем и может быть получен более строгим образом путем применения преобразования Фурье к свертке

.

(1.32)

Пример. Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем

Рис. 1.1.

имеет частотную характеристику , вид которой изображен на рисунке Рис. 1.1.

Так как является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех .

Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот .

Импульсная характеристика определяется следующим образом:

(1.33)

Идеальный фильтр нижних частот является примером системы, которая очень эффективно описывается в частотной области. Легко видеть, что эта система полностью удаляет из входного сигнала компоненты с частотой выше частоты среза . Ясно, что идеальный фильтр нижних частот не является физически реализуемой системой.