Нормированные случайные величины.

Нормированная случайная величина имеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σ

V = X/σ.

Среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсии

σ=D(X),

Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.

Для функции распределения F_V(x) и плотности распределения f_V(x) имеем:

F_V(x) = F(σx), f_V(x) = σf(σx),

где F(x) – функция распределения исходной случайной величины Х, а f(x) – ее плотность вероятности.

Коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции – это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 –связь отсутствует или является существенно нелинейной. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи (а именно линейной зависимости), то есть изменения двух величин можно описать линейной функцией.

Процесс называется стохастическим, если он описывается случайными переменными, значение которых меняется во времени.

Коэффициент корреляции Пирсона.

Для метрических величин применяется коэффициент корреляции Пирсона, точная формула которого была выведена Френсисом Гамильтоном. Пусть X и Y – две случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задается формулой:

.

14.

Неравенства Чебышева.

Неравенство Маркова.

Неравенство Маркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда

,

где a > 0.

Неравенство Чебышёва — Бьенеме.

Если E[X²] < ∞ (E[X²] – математическое ожидание), то для любого , справедливо

 

15.

Закон больших чисел.

Закон больших чисел утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Слабый закон больших чисел.

.

Тогда Sn P M(X).

Усиленный закон больших чисел.

.

Тогда Sn→M(X) почти наверное.

16.