Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Базовые определения

Определение 1. Уравнение вида

 

 

где х — независимая переменная, у и у' — соответственно не­известная функция и ее производная, называется дифференци­альным уравнением первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

 

 

В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид

 

 

Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, раз­решенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого ви­да. Примеры уравнений, разрешенных относительно производ­ной:

 

 

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.

Пример 1. (y')² = x ² + у ², откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ± .

 

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в урав­нение обращает его в тождество.

Например, функция у = х ² тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2 х ² = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'_y(x,y) непре­рывны в некоторой области D плоскости Оху, то в неко­торой окрестности любой внутренней точки (x₀, у₀) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у₀ при х = x₀.

 

График решения дифференциального уравнения называет­ся интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутрен­нюю точку области D проходит только одна интегральная кри­вая. Условия, которые задают значение функции у ₀ в фиксиро­ванной точке x ₀, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

 

 

Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворя­ющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множес­тва интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x ₀, y ₀) области D.

В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполне­ны, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной ин­тегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называет­ся функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.

Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в облас­ти D называется функция у = φ(х,С ₀ ), полученная при опре­деленном значении постоянной С = С ₀.

Общее решение у = φ (x, С) описывает семейство интег­ральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фик­сируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интег­ральную кривую у = φ(x,C ₀ ), проходящую через заданную точку (x ₀, y ₀).

Например, рассмотрим уравнение у' = 2 х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f (x, у) = 2 х и f'_y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетруд­но видеть, что общим решением уравнения является функция у = х ² + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у ₀ — x ₀², откуда находим частное решение у = х ² + у ₀ – х ₀². Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х ₀, у ₀ ).