Оценка построенной модели регрессии и качества оцененных параметров

Как правило, оценка построенной регрессионной модели проводится на качество и на значимость.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать либо коэффициент детерминации, либо среднюю ошибку аппроксимации.

Коэффициент детерминации

или (1.22)

показывает долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака Соответственно, величина характеризует долю дисперсии показателя вызванную влиянием неучтенных в модели факторов и прочих причин.

Чем ближе к 1, тем качественнее регрессионная модель, т.е. построенная модель хорошо аппроксимирует исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее относительное отклонение оценочных значений от фактических т.е.

(1.23)

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение не превышает 10-12%.

Для линейной регрессии средний коэффициент эластичности находится по формуле:

(1.24)

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат от своей величины при изменении фактора на 1% от своего значения.

F - тест

Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью -критерия Фишера, который заключается в проверке гипотезы о статистичес­кой незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений - крите­рия Фишера.

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы, т.е.

или (1.25)

где n – численность выборки,

k – количество оцениваемых параметров при х (количество регрессоров).

– максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы =1, = -2 и уровне значимости находится из таблицы -критерия Фишера (Таблица 1 Приложение 1), либо, если для расчетов применяется табличный процессор Excel, то его можно рассчитать, используя функцию FРАСПОБР(α; ν ₁; ν ₂).

Уровень значимости – это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Если то гипотеза об отсутствии связи изучаемого показателя с фактором отклоняется и делается вывод о существенности этой связи с уровнем значимости (т.е. уравнение регрессии значимо).

Если то гипотеза принимается и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

T – тест

Для линейной регрессии значимость оцененных коэффициентов регрессии определяется с помощью - критерия Стьюдента, согласно которому выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия для каждого из оцениваемых коэффициентов регрессии, т.е.

(1.26)

(1.27)

где и – стандартные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:

(1.28)

(1.29)

– максимально возможное значение критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при данной степени свободы и уровне значимости находится из таблицы критерия Стьюдента (таблица 2 приложение 1), либо, если для расчетов применяется табличный процессор Excel, то его можно рассчитать, используя функцию CТЬЮДРАСПОБР(1- α; υ ₂).

Если то гипотеза о несущественности коэффициента регрессии отклоняется с уровнем значимости т.е. коэффициент ( или )не случайно отличается от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора

Если то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования параметра.

При проверке статистической значимости параметров модели можно использовать следующее приближенное правило[2]:

1) если |t_фак| <1, то данный коэффициент не может быть признан значимым (доверительная вероятность меньше 0,7);

2) если 1< |t_фак| <2, то данный коэффициент может быть признан значимым c доверительной вероятностью в диапазоне между 0,7 – 0,95;

3) 2< |t_фак| <3, то данный коэффициент может быть признан значимым c доверительной вероятностью в диапазоне между 0,95 – 0,99;

4) если |t_фак| >3, то значимость данного коэффициента очевидна (доверительная вероятность находится в диапазоне между 0,99 и выше).

При этом, чем больше объем выборки, тем надежнее вывод о значимости коэффициента.

См. дополнительно литературу: [1, с. 66 – 72], [2, с 302 -315], [3, c. 72 - 117], [5, с. 50-80], [7, с. 34 - 48], [8]; [9] [ ]

Значимость линейного коэффициента корреляции также проверяется с помощью - критерия Стьюдента, т.е.

(1.30)

Гипотеза о несущественности коэффициента корреляции отклоняется с уровнем значимости если

Замечание. Для парной линейной регрессии проверка гипотезы о значимости коэффициента и коэффициента корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности уравнения регрессии в целом, т.е.

Для каждого полученного параметра парной линейной регрессии сначала рассчитывают предельную ошибку:

(1.31)

а затем рассчитываются доверительные интервалы:

(1.32)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нулю, так как он одновременно не может принимать и положительное, и отрицательное значения.

См. дополнительно литературу: [1, с. 31 - 62]; [2, с. 302 -316]; [3, c. 72 -117]; [5, с. 60 - 64]; [7, с. 48 - 57]; [8]; [9].