Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

11) Ромб. Определение. Свойства ромба. Доказательство. Рисунок.{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства ромба:

1)Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС. Это следует из определения.

2)Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

3)Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

Это для 9 класса:

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).

Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки ромба:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны) {\displaystyle AB=BC=CD=AD}

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC⊥BD).

3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

 

14) Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

 

 

15) Площадь трапеции. Теорема. Доказательство. Рисунок.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h): 1

 

 

 

16) Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема Пифагора (прямая) — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Чертеж обязательно!!!!!!

Теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Если в треугольнике со сторонами а, b и с выполняется равенство с² = а² + b², то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне с.

 

 

17) Отношение площадей подобных фигур. Доказательство. Рисунок

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

 

 

18) Признаки подобия треугольников (доказательство одной из них по выбору учителя). Рисунок.

Первый признак подобия треугольников

I. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

II. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если ABDE=ACDF и ∢A=∢D, то ΔABC∼ΔDEF.

Третий признак подобия треугольников

III. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

 

 

19) Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. Рисунок.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры.

Свойства

· средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Для 9 класса

· при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.

· Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

 

20) Касательная к окружности. Теорема о взаимном расположении касательной и радиуса в точке касания. Теорема прямой, являющейся касательной. Рисунок.

Касательная прямая к окружности — прямая, которая касается окружности ровно в одной точке.

Теорема

(Свойство касательной к окружности).