Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

На рисунке 2.8 показана зависимость f (υ) при различных температурах и массах молекул газа.

Рис. 2.8

Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f (υ) при изменении m и T. В данном случае (при T = const) или (при m = const). Площадь под кривой величина постоянная, равная единице (), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Вопрос №59

Обозначим – длина свободного пробега молекулы.

Медленность явлений переноса, например диффузии ароматических веществ – «распространение запаха», - при относительно высокой скорости теплового движения молекул (10³ м/с) объясняется столкновениями молекул. Молекула газа время от времени сталкивается с другими молекулами. В момент столкновения молекула резко изменяет величину и направление скорости своего движения. Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега. Средняя длина свободного пробега равна:

где – средняя скорость теплового движения, τ – среднее время между двумя столкновениями. Именно - средняя длина свободного пробега нас интересует (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Модель идеального газа – твёрдые шарики одного диаметра, взаимодействующие между собой только при столкновении. Обозначим σ – эффективное сечение молекулы, т.е. полное поперечное сечение рассеяния, характеризующее столкновение между двумя молекулами (рис. 3.2).

Рис. 3.2

– площадь, в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. Здесь – диаметр молекулы.

За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости . За ту же секунду молекула претерпевает ν столкновений. Следовательно,

3.2.1

Подсчитаем число столкновений ν.

Вероятность столкновения трех и более молекул бесконечно мала.

Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Её траектория будет представлять собой ломаную линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d (рис. 3.3).

Рис. 3.2

Путь, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра . Умножим объём цилиндра на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений в одну секунду:

3.2.1

На самом деле, все молекулы движутся (и в сторону, и навстречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга.

По закону сложения случайных величин

(3.2.1)

А так как средняя длина свободного пробега то получим:

(3.2.2)

Уравнение состояния идеального газа позволяет нам выразить n через давление P и термодинамическую температуру Т.

Так как , то есть то

(3.2.3)

Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению Р:

Например, при d = 3 Å = 3×10-10 м, Р = 1 атм., Т = 300 К, а, т.к. , то столкновений.

Вопрос №60

Сопоставим уравнения переноса. или уравнение Фика для диффузии.

Коэффициент диффузии .

или уравнение Ньютона для трения.

Коэффициент вязкости

или уравнение Фурье для теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности .

Все эти законы были установлены опытно, задолго до обоснования молекулярно-кинетической теорией. Эта теория позволила установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено общностью лежащего в их основе молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического движения.

Однако к концу XIX века, несмотря на блестящие успехи молекулярно-кинетической теории, ей недоставало твёрдой опоры – прямых экспериментов, доказывающих существование атомов и молекул. Это дало возможность некоторым философам, проповедовавшим субъективный идеализм, заявлять, что схожесть формул – это произвол учёных, упрощённое математическое описание явлений.

Но это, конечно, не так. Все вышеуказанные коэффициенты связаны между собой и все выводы молекулярно-кинетической теории подтверждены опытно.

Зависимость коэффициентов переноса от давления Р

Так как скорость теплового движения молекул и не зависит от давления Р, а коэффициент диффузии D ~ λ, то и зависимость D от Р должна быть подобна зависимости λ(Р). При обычных давлениях и в разряженных газах ; в высоком вакууме D = const.

С ростом давления λ уменьшается и затрудняется диффузия ().

В вакууме и при обычных давлениях , отсюда и .

С увеличением Р и ρ, повышается число молекул, переносящих импульс из слоя в слой, но зато уменьшается расстояние свободного пробега λ. Поэтому вязкость η и теплопроводность χ, при высоких давлениях, не зависят от Р (η и χ – const). Все эти результаты подтверждены экспериментально.

Рис. 3.7

На рисунке 3.7 показаны зависимости коэффициентов переноса и длины свободного пробега λ от давления Р. Эти зависимости широко используют в технике (например, при измерении вакуума).