На синусоидальное напряжение

Разветвленная электрическая цепь (рис. 2.) включается на синусоидальное напряжение .

Определить закон изменения во времени входного тока и построить его график, если включение производится в момент времени t =0. Круговая частота ω=314 рад/с. Амплитуда , начальная фаза напряжения и параметры цепи приведены в таблице 2. Задачу решить операторным методом.

Примечание. Задачу №2 решают студенты специальности 100400.

 

Таблица2

 

Номер строки	,В	, град.	R1, Ом	R2, Ом	L1, Гн	L2, Гн	С1, мкФ	С2, мкФ
		-45 -20 -60 -90			0,01 0,012 0,02 0,01 0,05 0,04 0,012 0,012 0,01 0,02	0,015 0,02 0,03 0,015 0,07 0,07 0,01 0,015 0,02 0,03

 

 

 

Рис. 2.

 

Окончание рис. 2.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

Переходные процессы возникают в электрических цепях при переходе от одного установившегося режима работы к другому установившемуся режиму. Смена режимов происходит в результате коммутаций (включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и т.п.). Классический метод расчета переходных процессов сводится к следующему:

1. На схеме цепи после коммутации указывают положительные направления токов в ветвях. Затем на основании законов Кирхгофа составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений переходного режима. Так как напряжение на резисторе , на индуктивной катушке и на конденсаторе , то по законам Кирхгофа будет составлена система интегрально-дифференциальных уравнений заданной цепи.

2. Полученную систему уравнений решают относительно искомой функции (тока или напряжения). В результате получают неоднородное линейное дифференциальное уравнение, порядок которого равен числу независимых источников накопления энергии. В случае двух независимых источников накопления энергии линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

где a, b, c – коэффициенты, зависящие от параметров цепи; f (u) – неоднородный член уравнения, зависящий от величины и формы приложенного к цепи напряжения.

3. Решают неоднородное линейное дифференциальное уравнение, в результате чего находят искомый ток или напряжение переходного процесса.

Согласно классическому методу решение дифференциального уравнения складывается из общего решения однородной части этого уравнения (правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого видом функции f (u).

Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источниками энергии, а общее решение – свободный режим. Таким образом, ток переходного процесса i=i_пр+i_св, а напряжение u=u_пр+u_св. Принужденные составляющие токов совпадают с установившимися значениями этих величин после окончания переходных процессов и определяются при помощи методов, изученных в первой части курса ТОЭ.

Характер переходного процесса зависит от параметров цепи и определяется корнями характеристического уравнения:

ap²+bp+c=0

Если корни вещественные, отрицательные и разные (p₁<0, p₂<0), то режим будет апериодическим, свободная составляющая тока запишется в виде:

.

Если корни комплексные и сопряженные ;

, то в цепи будет колебательный режим, свободная составляющая тока

,

где - круговая частота свободных затухающих колебаний, рад/с; ω_о – круговая частота собственных (резонансных) колебаний, рад/с.

При наличии равных отрицательных корней (p₁= p₂=p<0) возникает критический режим, при котором .

Для определения постоянных интегрирования А, А₁, А₂, γ необходимо определить ток и его производную в момент коммутации (t=0). Для этого сначала определяют начальные значения тока на участках цепи с индуктивной катушкой и напряжения на участках с конденсатором путем расчета цепи до коммутации и использования законов коммутации. Подставляя эти значения в исходные дифференциальные уравнения и полагая t=0, определяют начальные значения токов в остальных ветвях.

Производная от тока через катушку находится непосредственно из уравнения, написанного для контура, в который входит ветвь с катушкой. Производные от токов в других ветвях схемы определяются из уравнения, в котором нет ветви с катушкой, после его дифференцирования и перехода к t=0, причем напряжение на конденсаторе нужно писать в форме интеграла:

,

где и_с(0) – независимое начальное условие,

что дает

,

где i_c(0) – зависимое начальное условие; - значение производной при t=0.

В некоторых случаях нужно использовать и первый закон Кирхгофа для производных от токов:

 

Характеристическое уравнение проще находить из входного сопротивления схемы в операторной форме.

Операторный метод расчета переходных процессов заключается в том, что функция f(t) [обычно ток i_L(t) или напряжение u_c(t) ] вещественного переменного t (времени), называемая оригиналом, заменяется соответствующей функцией F(p) комплексно переменного p, называемой изображением. Указанные функции связаны соотношением

, называемым прямым преобразованием Лапласа.

Сокращенно

F(p) = f(t).

При переходе к изображениям дифференциальные и интегральные уравнения преобразуются в алгебраические, что упрощает расчет.

Постоянное напряжение U будет записываться в операторной форме как U/ p:

.

Изображение гармонического напряжения будет

.

Пользуясь комплексными числами, гармоническое напряжение

можно представить как мнимую часть комплекса .

,

то есть

.

В этом случае изображение гармонического напряжения значительно упрощается и имеет вид

.

Операторные сопротивления цепей записываются так же, как и сопротивления для тех же цепей в комплексной форме, в которых заменено на p. Так, для цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C, операторное сопротивление Z(p):

.

Напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе в операторной форме:

 

где и - начальные значения тока в катушке и напряжения на конденсаторе (независимые начальные условия).

Уравнения для изображения тока и напряжения любой цепи могут быть получены по законам Ома и Кирхгофа, написанных для операторных схем замещения. Полученную систему уравнений в операторной форме решают относительно изображения искомого тока или напряжения. В общем случае выражение для тока в любой ветви в операторной форме имеет вид:

,

где и - алгебраические многочлены, степени которых соответственно равны m и n, причем m < n.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется при помощи теоремы разложения:

,

где - корни уравнения ; n – число корней; - значение функции при ; - значение производной функции при .

Теорема разложения в представленном выше виде действительна только для не кратных корней. В случае, когда знаменатель имеет кратные корни (p₁ кратности m₁, p₂ кратности m₂, p_n кратности m_n), оригинал вычисляется по формуле:

,

но проще – по таблицам изображений.

Выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на и лишь после этого дифференцировать.

Для случаев подключения источника постоянного или гармонического напряжения к пассивной цепи с входным операторным сопротивлением на основании теоремы разложения получены простые расчетные формулы, называемые формулами включения.

При включении на постоянное напряжение ток в цепи при нулевых н.у.

где - корни уравнения Z(p)= 0.

При включении цепи на синусоидальное напряжение при нулевых н.у.

величина тока

,

где - амплитуда приложенного напряжения; ψ – начальная фаза приложенного напряжения;

- комплексное сопротивление цепи; - производная операторного сопротивления при .

Знак Im означает, что от полученного комплексного выражения берется коэффициент при мнимой части.

 

Пример 1.

В электрической цепи (рис. 3) сопротивления резисторов R₀=R=50 Ом, индуктивность катушки L=0,25 Гн, ёмкость конденсатора С=50 мкФ. Постоянное напряжение источника U=100В. Определить закон изменения переходного тока на неразветвлённом участке цепи и построить его график. Задачу решить классическим и операторным методами.

SB

 

 

R₀

C

U L

 

i₂ i₃

 

Рис.5