Двухфакторный дисперсионный анализ с пересечением уровней факторов

В двухфакторном дисперсионном анализе изучается влияние на исследуемую величину двух факторов A и B, каждый из которых имеет конечное число уровней. При этом ставится задача о том, как влияют и влияют ли вообще эти факторы на исследуемую величину.

Два фактора A и B называются пересекающимися, если в плане эксперимента предусмотрены все возможные сочетания факторов. Поэтому для фактора A с k уровнями и фактора B с n уровнями такой план должен содержать по меньшей мере одно наблюдение для каждой из kn комбинаций уровней. Комбинацию ij, где i – уровень фактора А, а j – уровень фактора В, называют ij -ячейкой. В каждой ячейке располагаются значения случайной величины X, полученной при m повторных наблюдениях. Результаты наблюдений можно представить в виде таблицы

	А1		Ai		Ak
B1	x 111 ... x 11 t … x 11 m	… … … … …	xi 11 ... xi 1 t … xi 1 m	… … … … …	xk 11 ... xk 1 t … xk 1 m
...	...	...	...	...	...
Bj	x 1 j 1 ... x 1 jt … x 1 jm	… … … … …	xij 1 ... xijt … xijm	… … … … …	xkj 1 ... xkjt … xkjm
...	...	...	...	...	...
Bn	x 1 n 1 ... x 1 nt … x 1 nm	… … … … …	xin 1 ... xint … xinm	… … … … …	xkn 1 ... xknt … xknm

Модель дисперсионного анализа фиксированными эффектами имеет вид

,

где – генеральное среднее; – дифференциальный эффект фактора А; – дифференциальный эффект фактора B; Величина называется взаимодействием i уровня фактора А и j уровня фактора В, если этот эффект не выражается суммой. Случайные величины предполагаются независимыми и распределенными нормально с нулевым средним и неизвестной дисперсией, одинаковой для всех i и j.

Проверяемыми гипотезами являются:

H0:	;
H0:	;
H0:	.

Эти гипотезы проверяются соответственно с помощью F -отношений

; , .

Здесь

,

,

,

.

В случае m = 1 (неповторяемый эксперимент) нельзя вычислить оценку , поэтому в качестве нее используют .

Вопросы для самоконтроля

1. На каких допущениях относительно случайных величин, определяющих остаточные эффекты, основан дисперсионный анализ?

2. Для решения каких задач используется дисперсионный анализ?

3. К какому виду исследований относится дисперсионный анализ в модели с фиксированными эффектами?

4. Что представляет собой межгрупповая (факториальная) дисперсия?

5. Что представляет собой внутригрупповая дисперсия?

6. Запишите основное тождество дисперсионного анализа.

7. Какой критерий используется в однофакторном дисперсионном анализе с фиксированными эффектами для проверки гипотезы о влиянии фактора на исследуемую величину?

8. Что отражается в таблице дисперсионного анализа?

9. Предположим, что в результате проведенного дисперсионного анализа проверяемая гипотеза о равенстве математических ожиданий при различных уровнях фактора отклонена. Каким образом можно выяснить, какие из математических ожиданий различны?

10. В чем отличие модели дисперсионного анализа со случайными эффектами от модели с фиксированными эффектами? Какая гипотеза проверяется в модели со случайными эффектами?

11. Какие способы взаимодействия факторов можно выделить в двухфакторном дисперсионном анализе?

12. Какие гипотезы проверяются в двухфакторном дисперсионном анализе?

13. В чём особенность проведения двухфакторного дисперсионного анализа с пересечением уровней при неповторяемом эксперименте?

14. С помощью каких критериев можно проверить гипотезу об однородности дисперсий нескольких выборок?

15. Какая статистика используется в ранговом однофакторном анализе?

16. Какая статистика используется в ранговом двухфакторном анализе?

Тема 5. Непараметрические методы факторного анализа

В результате изучения данной темы студент должен знать:

- сущность непараметрических методов факторного анализа;

и уметь использовать:

- методы факторного анализа при решении прикладных задач.

 

5.1 Методические рекомендации по изучению данной темы

Сначала ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями приведенными выше. Затем тщательно изучите материал, изложенный в главе 6 учебного пособия. Внимательно разберите решения примеров приведенных в главе 6 учебного пособия. Если после изучения учебного пособия вам остались непонятны некоторые вопросы, обратитесь к рекомендуемой литературе. Затем ответьте на вопросы для самоконтроля. Из контрольной работы выполните восьмое и девятое задания своего варианта.