ОУМ 7. Дифференциальная и аналитическая геометрия, топология. Дискретная математика и математическая логика.

8.1. Кривые. Формулы Френе.

- Кривые. Репер Френе. Кривизна и кручение кривых. Формулы Френе.

8.2. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.

- Определения первой и второй квадратичных форм. Коэффициенты этих форма. Применения первой квадратичной формы для нахождения длины дуги кривой на поверхности, площади области на поверхности, угла между кривыми на поверхности.

8.3. Гладкие многообразия.

- Определение гладкого многообразия. Отображение многообразий. Многообразия с краем.

8.4. Векторы. Линейные операторы над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Свойства.

- Сложение векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты вектора относительно данного базиса. Выражение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов через координаты этих векторов.

8.5. Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых.

- Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения к нормальному виду, расстояние от точки до прямой.

8.6. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

- Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум векторам. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Расстояние от точки до плоскости.

8.7. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.

- Прямая, как линия пересечения двух плоскостей. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

8.8. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

- Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя прямыми. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую, перпендикулярно данной плоскости.

8.9. Кривые второго порядка. (КВП)

- Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы этих кривых. Асимптоты гиперболы.

8.10. Поверхности второго порядка (ПВП).

- Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры. Конические сечения.

8.11. Применение инвариантов для определения типа КВП и ПВП и приведение их к каноническому виду.

- Инварианты КВП и ПВП при параллельном переносе, при повороте осей и общего преобразование.

8.12. Исчисления высказываний. Нормальные и совершенные формы. Теоремы проблемы разрешимости.

- Ввести понятие высказыванию операции над высказываниями. Основные законы алгебры высказываний. Нормальные и современные формы. Теорема о приводимости к совершенным формам. Четыре теоремы проблемы разрешимости.

8.13. Аксиомы исчисления высказываний. Доказуемость выводимость. Правила вывода ИВ. Теорема о дедукций.

- Привести аксиомы Гильберта ИВ. Ввести определения понятий доказуемости и определения понятий доказуемости и выводимости. Правила заключения и правило об эквивалентной замене. Теорема о дедукции ИВ с доказательством.

8.14. Приложения предикатов. Строение и виды теорем. Необходимое и достаточное условие.

- описание строения теорем с помощью предикатов. Изучение видов теорем на языке предикатов. Необходимое и достаточное условие как предикатные формулы.

8.15. Правильные и неправильные рассуждения. Примеры неправильных рассуждений.

- Определение правильного рассуждения. Равносильность правильного рассуждения и предикатной формулы. Виды правильных рассуждений. Привести примеры правильных рассуждений.

8.16. Размещения и сочетания.

- Упорядоченные и неупорядоченные (n,k)- выборки. Правило произведения в комбинаторике. Формулы для числа размещений и сочетаний.

8.17. Биноминальная формула Ньютона. Перестановки с повторениями.

- Биноминальная формула. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Формула для числа перестановок с повторениями.

8.18. Графы. Типы графов. Теоремы о степенях вершин графа.

- Определение графа. Ориентированные и неориентированные графы. Мультиграф и псевдограф. Понятие степени вершины. Положительная и отрицательная степень вершины. Теоремы о степенях вершин неориентированного и ориентированного графа.

Литература

1. Погорелов А.В. – Дифференциальная геометрия. М., Наука, 1974.

2. Новиков П.С. – Элементы математической логики. М., 1959.

3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.И. – Математическая логика. М., Наука. 1979.

4. Клини С.К. – Математическая логика. М., 1973.

5. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. – Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., МГУ, 1980.

6. Новиков С.П., Фоменко А.Т. – Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М., Наука, 1987.

7. Мусхелишвили И.И. – Аналитическая геометрия М., Высшая школа, 1967.