Последовательное соединение сопротивлений. Схема. Выражения для токов и напряжений. Баланс мощностей.

Параллельное соединение сопротивлений. Выражения для токов и проводимостей. Схема.

Расчет сложной электрической цепи с помощью метода контурных токов. Пример расчета.

Если структура некоторого участка цепи, имеющего внешние зажимы, преобразована таким образом, чтобы токи всех внешних зажимов и напряжения между ними не изменились, то такое преобразование называют эквивалентным. Эквивалентным являлось преобразование реального источника ЭДС в реальный источник тока и обратно.

Последовательное соединение. Схема с последовательным соединением элементов приведена на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3. Последовательное соединение: а) схема; б) эквивалентная схема

 

Пусть источник ЭДС идеален, т.е. U = E. Найдем эквивалентное сопротивление R _э, которым можно заменить все n последовательных элементов, так, чтобы ток I сохранился. Записываем ВЗК для обобщенного контура К: . Откуда:

. (2.1)

Для эквивалентной схемы на рис. 2.3, б, согласно закону Ома:

. (2.2)

Сопоставив (2.1) и (2.2), получим:

. (2.3)

Таким образом, эквивалентное сопротивление последовательных R -элементов равно сумме их сопротивлений. Показание амперметра, измеряющего ток I в контуре I = U / R _э, а показание вольтметра, измеряющего напряжение U ₁, по закону Ома U ₁ = R ₁ I = UR ₁/ R _э. При последовательном соединении элементов напряжения на элементах распределяются пропорционально их сопротивлениям.

Параллельное соединение. Схема с параллельным соединением элементов приведена на рис. 2.4.

 

Рис. 2.4. Параллельное соединение элементов: а) схема; б) эквивалентная схема;

в) параллельное включение двух элементов

 

Схемы на рис. 2.4, а и рис. 2.4, б эквивалентные, т.е. входное напряжение U и входной ток I у них одинаковы. В схеме на рис. 2.4, а все проводники идеальные, поэтому напряжение на каждом R -элементе одинаково и равно U. Показание вольтметра также равно U. По закону Ома токи элементов: ; ;…; ; и по первому закону Кирхгофа выражаем входной ток I:

. (2.4)

В эквивалентной цепи на рис. 2.4, б

. (2.5)

Сопоставив (2.4) и (2.5), получим:

. (2.6)

Вводя обозначения проводимостей (2.6) переписываем в виде:

. (2.7)

Таким образом, эквивалентная проводимость G _э параллельных R -элементов равна сумме их проводимостей. Эквивалентное сопротивление R _э равно 1/ G _э. На практике распространен случай параллельного включения двух элементов (рис. 2.4, в). Для этой цепи из (2.6) следует

. (2.8)

Из ; ; получаем:

; . (2.9)

Выражения (2.9) называют «правилом плеч». Они позволяют разбить известный ток I на два параллельных тока I ₁, I ₂, причем в качестве тока I может выступать ток J источника тока (рис. 2.4, в).

Смешанное соединение. Смешанным называют соединение, содержащее комбинацию последовательных и параллельных ветвей. Рассмотрим порядок расчета цепи со смешанным соединением на примере схемы, приведенной на рис. 2.5, а. В этой цепи заданы напряжение U источника ЭДС и сопротивления элементов. Требуется рассчитать эквивалентные сопротивления цепи и показания приборов.

 

Рис. 2.5. Смешанное соединение элементов: а) схема; б) эквивалентная схема

 

Схема на рис. 2.5, а содержит три ветви: 1) ветвь I с током I ₁, содержащую источник ЭДС с напряжением U и R -элементы R ₁, R ₂; 2) ветвь II с током I ₂, содержащую R ₃ и R ₄; ветвь III с током I ₃, состоящую из одного элемента R ₅. Сопротивления ветвей равны: ; ; . Ветви II и III включены параллельно, и их можно заменить (рис. 2.5, б) эквивалентной ветвью с сопротивлением R _э1: R _э1 = R _ΙΙ R _ΙΙΙ/(R _ΙΙ + R _ΙΙΙ). В результате получим цепь на рис. 2.5, б, содержащую только последовательное соединение элементов, для которого R _э = R ₁ + R ₂ + R _э1 + R ₆. Далее определяем ток I ₁: I ₁ = U / R _э. Амперметры А ₁ и А ₄ находятся в ветви I, поэтому их показания одинаковы и равны I ₁. Токи I ₂, I ₃ определяем по «правилу плеч»: ; . Эти токи измеряются амперметрами A ₂, А ₃. Если не использовать «правило плеч», то вначале находим напряжение U ₂₃ на сопротивлении R _э1 (его измеряет вольтметр V ₂) U ₂₃ = I ₁ R _э1; затем ищем токи I ₂, I ₃ по закону Ома: I ₂ = U ₂₃/ R _ΙΙ; I ₃ = U ₂₃/ R ₅. Показания вольтметров V ₁, V ₃ находим по закону Ома: U_{V 1} = U ₁₂ = I ₁(R ₁ + R ₂); U_{V 3} = U ₃₄ = I ₁ R ₆. Для обобщенного контура К должен выполняться баланс напряжений, т.е. ВЗК U = U_{V 1} + U_{V 2} + U_{V 3}.