Система уравнений по методу пространства состояний

 

Описание цепи в виде системы дифференциальных уравнений:

(5)

. (6)

называют системой уравнений по методу пространства состояний.

Уравнение (5) называют уравнением состояния, а уравнение (6) – выходным уравнением. Здесь

· x (t) – вектор переменных состояний;

· y (t) – вектор реакций цепи;

· u (t) – вектор входных воздействий.

В линейном случае уравнение (5) можно записать в виде

(7)

В качестве переменных состояния принимают непрерывные функции (напряжение на емкостях или ток на индуктивностях). Одним из простейших методов формирования уравнения (7) является следующий прием [1]. На основании теоремы замещения индуктивности заменяют на источники тока i_i (t), а емкости на источники напряжения u _с(t). В результате получаем резистивную цепь с источниками и внешними воздействиями. Затем проводится анализ цепи, при этом определяются напряжения на индуктивностях u _i(t) и токи на емкостях i _с(t). Производя перегруппировку членов, находят уравнение (7) следующие ключевые выражения

(8)

(9)

Рассмотрим пример формирования уравнений по методу пространства состояний. Обратимся к цепи, показанной на рис.5.

 

 

Рис.5

 

Заменим ветви с реактивными элементами, соответствующими источниками напряжения и тока.

 

Рис. 6

На основании законов Кирхгофа и получим следующую систему уравнений

.

 

Или, используя (8), (9), получим:

 

Откуда матрицы А и В из выражения (7) будут для цепи на рис.5.

 

, .

 

Если принять, что выходной реакцией является, например, ток в резисторе R _2. то система (6) сводимая к

,

Таким образом, матрицы C и D имеют вид

, .

Решение уравнения (6) во временной области имеет вид

(10)

где e^At – матричная экспонента, x (0) – вектор начальных условий.

Первое слагаемое (10) отвечает реакции при нулевом входе, а второе при нулевых начальных условиях. Таким образом, выражение (10) есть сумма свободной и вынужденных составляющих реакции. Исходя из определения импульсной характеристики, то есть при x (0), u (t)=δ(t), получим из (10) и (5):

;

Таким образом, в приведенном примере импульсная характеристика для тока будет

.

Преобразуем по Лапласу (6), (7) при нулевых начальных условиях

,

.

Функция цепи связана с описанием по методу переменных состояний следующим образом

 

Расчет реакции цепи при одиночных входных сигналах

 

В данном разделе рекомендуется использовать операторный метод анализа электрических цепей [5]. Изображение искомой реакции на выходе F₂(s) определяем по выражению

Последнему соотношению во временной области соответствует интеграл наложения

.

Для получения изображения одиночных импульсов может быть использована теорема запаздывания.

Рассмотрим, например, прямоугольный импульс напряжения рис.7.

 

Рис.7

 

.

Изображение этой суммы с учетом теоремы запаздывания равно

.

Реакция на выходе цепи находится с помощью теоремы разложения для конкретного случая полюсов F ₂(s).

6. Определение амплитудно-частотных и