Этот метод удобен только для плоской системы сил. Если система сил пространственная, то существует аналитический способ.

п 5. Аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил.

 

Вводим координатную систему сначала в точке схода. Оси направляем совершенно произвольно, т.е. так как нам удобно.

 

Z

 

 

Y

 

 

X

 

 

Пусть силы системы заданы своими проекциями:

{X_K,Y_K,Z_K}

Воспользуемя тем, что равнодействующая системы сходящихся сил равна сумме всех сил

= (1)

Вопрос: Что делать с этим уравнением, чтобы появились проекции сил?

Ответ:

Спроецировать это векторное равенство на оси координат.

Пишем

Спроецируем это равенство на оси координат:

R_X = X_K

R_Y = Y_K (2)

R _Z= Z_K

Вопрос:

Найдем проекцию равнодействующей через проекции системы сил

(3)

Направление определим через направляющие косинусы.

Cos (, ) =

Cos (, ) = (4)

Cos (, ) =

П 6. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Теорема:

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая была равна нулю

=0 (5)

Сначала докажем необходимость

Вопрос:

Что нам дано? Что нам надо доказать?

Ответ:

Пусть эта система уравновешена, надо доказать, что =0.

А достаточность наоборот: пусть =0, тогда система уравновешена.

Вопрос:

Как это делается?

Ответ:

Давайте вспомним аксиому №1,аксиому равновесия.

В ней речь идет о двух силах действующих на тело. Для равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы у них было:

· общая линия действия

· одинаковые модули

· силы направлены в противоположные стороны.

Если мы сможем эту систему из любого числа сил заменить двумя силами, то можно будет убедиться, что =0.

Этого будет необходимо и достаточно.

Дано:

S() 0;

Доказать

=0

 

Доказательство:

Заменяем эту систему равнодействующей

S() ;

Причем

=

Но можно эту систему заменить двумя силами

S() S₁(, )

Где

=

Причем

 

= + (6)

По условию S() 0;

 

По аксиоме №1

, - должны иметь общую линию действия

= -

Тогда из (6)

=0

Что и требовалось доказать.

Из условия (5) можно получить векторное условие равновесия для сил данной системы S().

 

Векторное условие

Т.к.

= , то

 

=0 (7)

 

Это необходимое и достаточное условие для равновесия такой системы записанное в векторной форме.

Для равновесия такой системы необходимо и достаточно чтобы векторная сумма всех сил такой системы была равна нулю

 

Геометрическое условие

 

Вспомним геометрический способ нахождения равнодействующей.

Это построение замыкающей стороны силового многоугольника

Для системы находящейся в равновесии =0. конец последней силы должен совпадать с началом первой.

 

Запишем.

 

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут.

 

.

 

Аналитическое условие равновесия системы сходящихся сил

Из выражения

=0

Следует, что

 

R_X = 0, R_Y = 0, R _Z= 0

Или на основании (2)

Сумма проекций всех сил на ось Х равно нулю и т. д.

∑X_K=0

∑Y_K=0 (8)

∑Z_K=0

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей были равны нулю.