Формула Бейеса (вероятность гипотез)

Ранее мы показывали, что . Эта формула имеет место для любых событий A и B, в том числе, если вместо A берется любое некоторое условие , при котором может наступить событие B т.е.:

В этой формуле вероятность P(B) можно расписать по формуле полной вероятности:

и тогда она принимает вид

Эту формулу называют формулой Бейеса. События же А_i часто называют гипотезами и, в соответствии с этим данную формулу иногда называют вероятностью гипотез.

Пример3: Если, в рассмотренном выше примере 2 купленный продукт оказался недоброкачественным, то какова будет вероятность того, что этот продукт есть изделие I предприятия (т.е.- ).

Без дополнительных сведений и проверок естественно считать, что

вероятность брака (для произвольно взятой продукции) у всех предприятий одинакова.

(Это есть некое допущение, принимаемая априори гипотеза). При этом, если количество бракованной продукций окажется, например 180, то – согласно общей пропорции поставок продукции этими предприятиями – 30 из этих 180 бракованных изделий можно будет отнести к I предприятию, 60 – ко II и 90 – к III предприятию. Соответственно, вероятность того, что бракованная продукция окажется из I, II и III предприятий будет принята равной 1/6, 1/3 и 1/2.

При принятом допущении формула Бейеса также будет давать , т.е. априори (при отсутствии данных о событии В относительно А_i) в качестве принимается .

Вероятности найденные подобным образом (без проверок и уточнений принятой гипотезы) обычно называют априорными вероятностями.

Поставщики могут не согласиться с указанным выводом (и соответствующими претензиями) и предоставить данные о проценте негодности своей продукции, т.е. – : 11%, 8% и 3%. (Эти данные естественно, могут быть получены/перепроверены и в результате контрольных испытаний продукции, поставляемой каждым поставщиком в отдельности).

По получению же таких данных с применением формулы Бейеса производится корректировка установленного выше вывода относительно событий А_iс учетом события В:

Аналогично находится вероятность того, что бракованная деталь окажется из II (и/или из III) предприятия: .

Отсюда следует, что вероятности принадлежности бракованной продукции к I, II и III предприятиям относятся как 11:16:9.

Согласно полученного заключения, установленного в соответствии с указанными уточненными сведениями, следует считать, что из 180 бракованных изделий 55 (т.е.- 11-ая часть) окажется из I предприятия, 80 - из II и 45 – из III предприятий.

Вероятности, определяемые по формуле Бейеса, после уточненных условий испытания (- дополнительные данные ), обычно называют апостериорными вероятностями.

[1] Подсчет этого числа производится по формуле сочетаний, суть которой изложен ниже - в п.3 данной лекции. В данном случае эта формула дает результат.