Закон исключенного третьего: всё должно быть либо А, либо не-А.

Смысл: из двух про­тиворечащих друг другу суждений одно обязатель­но истинно. Это означает, что две противоречащие друг дру­гу мысли не могут быть одновременно истинными (об этом говорит закон противоречия), но они не могут быть и одновременно ложными - одна из них необходимо истинна, другая - ложна. Закон исключённого третьего не применим к высказываниям о случайных будущих событиях, о бесконечных множествах, о несуществующих объектах.

Например, противоречащие друг другу единичные суждения: «Ока – приток Волги» и «Ока не есть приток Волги». Противоречащими могут быть суждения, если одно – общее, а другое – частное, причём одно из них что-либо утверждает о данном предмете, а другое отрицает. «Все жители Польши – поляки» и «Некоторые жители Польши – не поляки».

4. Закон достаточного основания: всякая ис­тинная мысль должна иметь достаточное основа­ние.

Смысл: высказывая некоторое истинное суждение, мы должны обосновать его с помощью других суждений, которые доказаны либо опытным путём, либо логически. Даже если мысль представляется очевидно истинной, следует указать основания, по которым мы ее принимаем. Данный закон говорит о том, что ничего нельзя принимать на веру, все нужно рационально обосновывать.

Например, обосновать, что медь – проводник электричества, можно двумя способами: опытным (пропустить ток по медному проводу) и логическим (рассуждая так: медь – металл; все металлы – хорошие проводники электричества; значит, медь есть хороший проводник электричества).

Правила логического вывода делают возможным доказательное, правильное умозаключение. Фундаментальными правилами являются «modus tollendo ponens» (модус понендо поненс)или «утверждать, утверждая» и «modus tollendo tollens» (модус толлендо толленс)или «отрицать отрицая».

«Утверждать утверждая» означает: если нам известно, что из А следует В, и если нам известно, что имеет место А, то мы можем сделать вывод В. Это можно записать так:

[(А => В) ^ А ] => В

А (х) ≡ х – физик,

В (х) ≡ х – физик завтракает,

0 ≡ мой сосед.

Приведённое рассуждение можно записать так:

А (х) => В (х),

В (0),

следовательно, А (0).

Очевидно, что «утверждать, утверждая» использован неверно: из А => В и В был сделан вывод А. Обратное утверждение здесь спутано с контрапозицией.

Для импликации А => В обратной является импликация В => А, а контрапозицией В => А, знак означает «не».

Например, рассмотрим утверждение:

У каждой здоровой кошки четыре ноги.

Упростим это утверждение:

У здоровой кошки четыре ноги.

Если введём обозначения

А (х) ≡ х – здоровая кошка,

В (х) ≡ х – имеет четыре ноги,

Утверждение принимает вид

А (х) => В (х).

Обратное утверждение:

В (х) => А (х),

то есть

Объект с четырьмя ногами – здоровая кошка.

Обратное утверждение построено на основе исходного утверждения о том, что у каждой здоровой кошки четыре ноги. Исходное утверждение истинно, обратное ему – ложно. Неверно, что нечто имеющее четыре ноги – именно здоровая кошка. Четыре ноги есть у собаки, козы, лошади и стола.

Контрапозиция означает, что если нечто не обладает четырьмя ногами, то не является здоровой кошкой.

В => А

(В => А) ^ В ≡ В.

Правило «отрицать отрицая» является переформулировкой правила «утверждать утверждая»:

Если ((А => В) и В), то А.

Утверждению А => В эквивалентна его контрпозиция В => А. А если ещё есть утверждение В, то согласно правилу «утверждать утверждаю», можно вывести А. В этом и заключается правило «отрицать отрицая».

По степени обоснованности выведения заключения из посылок умозаключения делят на демонстративные и недемонстративные.