Алгоритм Евклида для целых чисел

Укажем процедуру нахождения наибольшего общего делителя, которая в геометрической форме описана еще в «Началах». Даны числа и , . Делим на и получаем остаток , . Далее делим на , и получаем остаток , . Продолжаем далее до тех пор, пока не получим нулевой остаток. Утверждается, что последний ненулевой остаток есть НОД(, ). Для доказательства рассмотрим цепочку равенств:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

в которой для определенности шестой остаток равен нулю, а пятый отличен от нуля. Проверим, что . Сначала убедимся, что есть общий делитель чисел и . Из формулы (6) видно, что делится на . Тогда из (5) заключаем, что делится на. Поднимаясь по цепочке, видим, что и делятся на . Далее пусть δ – какой-нибудь общий делитель чисел и . Равенство (1) показывает, что остаток тоже делится на δ. Тогда из (2) заключаем, что и делится на δ. Спускаясь по цепочке, находим, что и делится на δ, что и требовалось.

С помощью алгоритма Евклида легко установить линейное представление через и . Действительно, равенство (5) показывает, что , то есть можно линейно выразить через и . Но из (4) видно, что , а тогда , то есть можно линейно выразить через и . Поднимаясь по цепочке вверх, находим, что окончательно выражается через и . Иными словами, найдутся такие целые числа и , что .

Это представление наибольшего общего делителя двух чисел называется соотношением Безу, а числа и – коэффициентами Безу. Соотношение Безу было ключевым в доказательстве теоремы Евклида и основной теоремы арифметики.

Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти , для a = 1071 и b = 462. Сначала от 1071 нужно отнимать 462 до тех пор, пока не получим число, меньшее 462. В данном случае эту операцию нужно проделать дважды, следовательно, q ₁ = 2, остаток .

1071 = 2 ∙ 462 + 147.

Затем от 462 отнимем число кратное 147 так, чтобы разность была меньше чем 147. q ₂ = 3, остаток 21.

462 = 3 147 + 21.

Далее 147 = 7 ∙ 21 + 0.

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается и НОД(1071, 462) = 21.

 

Подобные слагаемые

Для любых чисел а, b и с верны равенства:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)

С помощью этих равенств можно упрощать буквенные выражения. Например, .

Слагаемые содержат одинаковые буквенные множители. Такие слагаемые называют подобными. Числовой множитель в произведении вида 7х называют коэффициентом.

Пользуясь распределительным законом, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражения:

Такое упрощение выражений называют приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученное число умножить на общий буквенный множитель.

В простых случаях промежуточные вычисления опускают, например, пишут: .

Если слагаемых больше двух, то при приведении подобных слагаемых бывает полезно группировать отдельно слагаемые с коэффициентами разных знаков.

Например,

 

[1] Здесь представлен краткий конспект соответствующих разделов учебника: Арифметика, 5 / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 1999. – 255 с. Нумерация разделов такая же, как и в учебнике.

[2] Краткий конспект по данной теме составлен на основании соответствующих разделов учебника: Арифметика, 6 / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2000. – 270 с.