Лекция 8. Позиционные задачи

8.1. Построение линии пересечения плоскостей общего положения.

8.2. Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через задан­ною точку.

8.3. Построение плоскости проходящей через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой.

8.4. Построение прямой параллельной заданной плоскости.

8.5. Перпендикулярность и параллельность плоскостей.

8.6. Контрольные вопросы.

8.1. Построение линии пересечения плоскостей
общего положения

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.

Для нахождения таких точек используется методика по определению точки встречи прямой с плоскостью, только при этом в качестве плоскости выбирается одна из заданных плоскостей, а в качестве прямой – прямая, принадлежащая другой плоскости.

Рассмотрим, как это делается, на следующем примере (рис. 71).

Рис. 71

Постановка задачи. Даны две плоскости общего положенияα, заданная треугольником ∆ АВС и β – двумя параллельными прямыми m и n.

Построить прямую l пересечения плоскостей α и β: l =α∩β и определить видимость плоскостей, ограниченных ∆ АВС и параллельными прямыми m и n.

Решение

1. Определяем первую точку М принадлежащею линии пересечения плос­костей l, как точку встречи прямой m с плоскость α: M ⊂ l; М = m ∩α.

2. Определяем вторую точку N принадлежащею линии пересечения плос­костей l, как точку встречи прямой n с плоскость α: N ⊂ l; N = n ∩α.

3. Через точки M и N проводим прямую пересечения плоскостей α и β: l =α∩β.

4. Устанавливаем видимость плоскостей α и βотносительно друг друга. Для горизонтальной плоскости проекций с помощью горизонтально конкурирующих точек5 и 6 (точка 6 лежит на стороне АС треугольника, а точка 5 – на прямой т). Для фронтальной плоскости проекций с помощью фронтально конкурирующих точек1 и 7 (точка 1 лежит на стороне АС треугольника, а точка 7 – на прямой п). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символами (⇧) и (⇩).

8.2. Построение перпендикуляра к плоскости,
проходящего через заданною точку

При решении геометрических задач часто бывает необходимо строить перпендикуляры к плоскости. Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве этих двух пересекающихся прямых плоскости приходится использовать линии уровня плоскости, т.к. согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях. Условия перпендикулярности прямой и плоскости устанавливаются следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы прямая была бы перпендикулярна к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была бы перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что прямая перпендикулярна к плоскости. Тогда она перпендикулярна к любым прямым этой плоскости, в том числе горизонталям и фронталям плоскости. Согласно теоремы о проецировании прямого угла, перпендикулярность прямой и горизонтали сохраняется на горизонтальной плоскости проекций, а перпендикулярность прямой и фронтали – на фронтальной плоскости проекций. Что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости. Тогда в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямая в пространстве будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали плоскости. А это значит, что прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Рис. 72

Установленные теоремой при­знаки позволяют строить на комплексном чертеже прямые, перпендикулярные к плоскости.

Пример построения перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку (рис. 72).

Постановка задачи. Задана плоскостьα треугольником ∆ АВС и точка К.

Построить перпендикуляр т к плоскости α, проходящей через точку К.

Решение

1. В плоскости α проводится горизонталь h: h Ì αи h‖π ₁.

2. Используя теорему о прямом угле строится первая проекция перпендикуляра m: m ₁⊥ h ₁ и К ₁⊂ m ₁.

3. В плоскости α проводится фронталь f: f Ì αи f‖ π₂.

4. Используя теорему о прямом угле строится вторая проекция перпендикуляра m: m ₂⊥ f ₂ и К ₂⊂ m ₂.