Тема 1. Элементы линейной алгебры

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания к изучению курса

и контрольные задания для студентов

заочной формы обучения направлений

151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 150700 «Машиностроение»

(I семестр)

 

Брянск 2012

УДК 511

 

Математика [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания к изучению курса и контрольные задания для студентов заочной формы обучения направлений 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» и 150700 «Машиностроение» (I семестр). – Брянск: БГТУ, 2012. – 40 с.

 

Разработали: Е.С. Золотухина, канд. физ.-мат. наук, доц.;

А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.

 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол №5 от 31.01.12)

 

Научный редактор В.М. Кобзев

 

Редактор издательства Т.И. Королева

 

Компьютерный набор Е.С. Золотухина

 

 

Темплан 2012 г., п. 159

Подписано в печать 18.06.12 Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 2,32 Уч.-изд. л. 2,32 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Настоящие МУ предназначены для оказания помощи студентам при изучении дисциплины «Математика» в первом семестре. Они содержат список рекомендуемой литературы, методические рекомендации к изучению тем курса и выполнению контрольных работ и задачи для контрольных работ.

В соответствии с рабочей программой дисциплины в первом семестре студенты изучают темы «Элементы линейной алгебры», «Элементы векторной алгебры», «Аналитическая геометрия на плоскости», «Аналитическая геометрия в пространстве», «Введение в математический анализ». Каждая тема состоит из нескольких разделов. В конце раздела в квадратных скобках указаны ссылки на пособия из приведенного списка литературы. После изучения определенной темы необходимо рассмотреть примеры решения задач.

По дисциплине «Математика» студенты в первом семестре сдают экзамен после выполнения предусмотренных учебным планом двух контрольных работ. Задания к ним приводятся в данных указаниях. При выполнении работ и их оформлении следует придерживаться следующих правил:

– студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки.

– работа должна быть выполнена в тетради, имеющей поля для замечаний рецензента;

– перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие;

– следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании;

– на обложке тетради указываются наименование учебной дисциплины, номер контрольной работы, фамилия, имя, отчество (полностью) студента, номер его группы и зачетной книжки, фамилия, имя, отчество рецензента.

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. Ильин, В.А., Ким, Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007. – 400 с.

2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /Д.В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2001. – 376 с.

3. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.– 288 с.

4. Данко, П.Е., Попов, А.Г., Кожевникова, Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1999. – Ч. 1. – 304 с.

5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. − 2-е изд., испр. − М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч. 1. − 288 с.

6. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2002. – 240 с.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ КУРСА И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

Задачи для контрольных работ

 

ВАРИАНТ 1

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 2

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 3

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно асимптотам гиперболы .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 4

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Дана парабола . Найти длину ее хорды, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 5

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 6

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

 

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол в радианах с точностью до ;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса параллельно прямой .

3. Даны точки ; ; ; . Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и ;

3) угол между прямыми и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью ;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

ВАРИАНТ 7

 

Контрольная работа №1

 

1. Дана матрица . Найти .

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ; ; ; . Требуется:

1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов , , ;

3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и ;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор