Перевод чисел из десятичной системы в другие

 

Для перевода чисел, состоящих из целой и дробной частей, из десятичной системы в другие системы, существуют два правила: одно – для перевода целой части числа, а другое – для дробной части.

Для перевода десятичного целого числа в систему с основанием q его надо последовательно делить на основание q (по правилам десятичной системы) до тех пор, пока очередное частное не будет меньше q. Число в системе с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном их получению, причем старшей цифрой числа будет последнее частное.

Пример. Переведем число 67 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

 

67 2 67 8 67 16

66 33 2 64 8 8 64 4

1 32 16 2 3 8 1 3

1 16 8 2 0

0 8 4 2

0 4 2 2

0 2 1

0

 

В результате вычислений мы получили представление числа 67 (10) в других системах счисления:

67 (10) = 1000011 (2) = 103 (8) = 43 (16).

Альтернативный способ перевода основан на использовании следующего правила:

 

q^k = 1 000 … 00

k нулей. Например, 10³ = 1 000.

 

Выпишем несколько первых степеней двойки, восьми и шестнадцати:

 

2¹ = 2, 8¹ = 8. 16¹ = 16.

2² = 4, 8² = 64. 16² = 256.

2³ = 8, 8³ = 512.

2⁴ = 16,

2⁵ = 32,

2⁶ =64,

2⁷ = 128,

2⁸ =256,

2⁹ = 512,

2¹⁰ = 1024.

 

Пример. Переведем число 153 из десятичной системы в двоичную систему. Представим число 153 как сумму чисел, представляющих собой степени числа два:

153(10) = 128 + 16 + 8 + 1 = 2⁷ + 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 10011001 (2).

При переводе десятичной правильной дроби в систему с основанием q необходимо последовательно умножать эту дробь на основание q (по правилам десятичной системы), отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в системе с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений, в порядке их получения.

Число произведений определяется точностью перевода, т.е. сколько цифр после запятой надо иметь в новой системе счисления. Если необходимо иметь k цифр после запятой, то для получения результата без округления необходимо выполнить k умножений. Если необходимо получить результат с округлением, то умножение выполняют k+1 раз и далее производят округление по половине основания, используя последнюю полученную цифру.

 

Пример. Перевести число 0,453 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Точность перевода – три цифры после запятой.

0,453 0,453 0,453

2 8 16

0,906 3,624 7,248

2 8 16

1,812 4,992 3,968

2 8 16

1,624 7,936 15,488

2 8 16

1,248 7,488 7,808

 

Четвертое умножение выполнено с целью округления результата перевода.

В результате вычислений мы получили представление числа 0,453 (10) в других системах счисления:

· без округления - 0,453 (10) = 0,011 (2) = 0,347 (8) = 0,73F (16);

· с округлением - 0,453 (10) = 0,100 (2) = 0,35 (8) = 0,74 (16) (добавлена 1 к предыдущему разряду).

 

Представление целых чисел в ЭВМ

 

Форматом числа называется представление числа в разрядной сетке ЭВМ.

Целые числа в ЭВМ представляются в двух форматах:

· целое без знака;

· целое со знаком.

 

Диапазон представления целых чисел в формате целое без знака изменяется от 0 до

2ⁿ – 1, где n – длина разрядной сетки.

В целых числах со знаком старший разряд числа отводится под знак.

n-1 n-2 … 0

 

Если число положительное, то в знаковый разряд записывается 1, в противном случае записывается 0.