Поле бесконечной заряженной нити

 

Окружим нить цилиндром длиной l и площадью поперечного сечения S. Т.к. вектор напряженности электрического поля направлен через боковую поверхность, а через две торцевые поток отсутствует, то по теореме О-Г:

 

, S_{б. п.}= l 2pr, 2p Еlr = Þ .

 

Если ввести понятие линейной плотности зарядов t = q/l - заряд распределенной по всей длине, то напряженность поля нити можно определить так:

 

. (1.28)

 

Напряженность поля создаваемая телом любой формы может быть получена с помощью т. О-Г.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда в этом поле, равна убыли потенциальной энергии в рассматриваемом поле:

 

dА = q d = - dW_n.

 

Для системы из n точечных зарядов

 

.

 

После интегрирования получим:

 

,

 

где С - постоянная интегрирования.

Значение С зависит от выбора начала отсчета потенциальной энергии заряда q в электростатическом поле. Если система имеет бесконечную протяженность в пространстве, то полагают, потенциальная энергия равна нулю в точке, бесконечно удаленной от всех зарядов q_i системы, т.е. С=0:

 

.

 

Если заряды системы распределены в пространстве непрерывно, то для напряженности поля справедлива формула:

 

.

 

Тогда потенциальная энергия в случае при вышеуказанном выборе начала отсчета потенциальной энергии

 

. (1.29)

 

Из (1.29) следует, что потенциальная энергия не может служить характеристикой самого поля. Энергетической характеристикой поля служит его потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду:

 

j = W_п /q. (1.30)

 

Тогда, учитывая (1.29):

 

или .

 

Таким образом,

, (1.31)

 

т.е. при наложении электростатических полей их потенциала складываются алгебраически.

Из формул (1.4) и (1.30):

 

, W_п = qj.

 

С другой стороны, существует связь:

 

.

 

Т.к. заряд q не зависит от координат точек поля, то

 

grad(qj)=q×gradj. (1.32)

 

Элементарная работа сил электростатического поля на малом перемещении пробного заряда q

 

,

 

где d l = | |, E _l - проекция вектора на направление перемещения .

С другой стороны,

 

δA = -dW_п= -qdj.

 

Поэтому

E_l dl = -dj или , (1.33)

 

т.е. проекция вектора напряженности электростатического поля на произвольное направление численно равна быстроте убывания потенциала поля на единицу длины в этом направлении.

.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциала одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то (dj / d l) = 0 и E _l = 0, т.е. ^ . Следовательно, эквипотенциальные поверхности ортогональны линиям напряженности (рис. 1.7). Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю.