Тема 4. Декартово произведение множеств

Теоретический материал

Обозначения:

– упорядоченная пара, образованная из элементов и ;

А×В – декартово произведение множеств A и B;

– декартово произведение множеств ;

– количество элементов в декартовом произведении множеств A и B;

– количество элементов в декартовом произведении множеств .

Элемент – первая координата (компонента) пары; элемент – вторая координата (компонента) пары.

Декартово произведение множеств А и В (А×В) – множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента – множеству В.

Кортеж – упорядоченный набор 3 и более элементов.

Декартово произведение множеств () – множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂, …, n-я – множеству А_n.

Способы представления декартова произведения множеств:

а) перечисление элементов;

б) граф;

в) таблица;

г) на координатной плоскости.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств:

Два множества: .

k множеств: .

Задания

1. Найти декартово произведение множеств:

а) и : , ;

 

б) ;

 

в) ;

 

г) : , .

 

2. Представьте в виде графа и таблицы декартово произведение множеств , , .

Таблица:

 

Граф:

 

3. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение , если:

а) , ;

 

б) , ;

 

в) , ;

 

г) , .

 

 

4. Сколько чисел можно составить из цифр 7, 8, 9, если:

а) числа двузначные, цифры в записи числа не повторяются;

 

б) числа двузначные, цифры в записи числа могут повторяться;

 

в) числа трехзначные, цифры в записи числа не повторяются;

 

г) числа трехзначные, цифры в записи числа могут повторяться.

 

5. Сколько чисел можно составить из цифр 5, 4, 0, если:

а) числа двузначные, цифры в записи числа не повторяются;

 

б) числа двузначные, цифры в записи числа могут повторяться;

 

в) числа трехзначные, цифры в записи числа не повторяются;

 

 

г) числа трехзначные, цифры в записи числа могут повторяться.

 

6. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из множества , а знаменателем – числа из множества .

 

7. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1, 3, 5, 7. Сколько среди них чисел, запись которых начинается с цифры 5? Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова произведения множеств.

 

 

Тема 5. Математические понятия

Теоретический материал

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот.

Пусть заданы два понятия и , имеющие объемы соответственно и . Если , то говорят, что понятие – видовое по отношению к понятию , а понятие – родовое по отношению к .

Если А = В, то говорят, что понятия и тождественны.

Операции с понятиями:

1. Обобщение понятия.

2. Ограничение понятия.

3. Деление понятия.

4. Определение понятия.

Определение понятия через род и видовое отличие

Правила определения понятий:

1. Соразмерность определения.

2. Отсутствие порочного круга в определении.

3. Ясность определения.

Неявные определения:

1. Контекстуальные.

2. Остенсивные.

Задания

1. Выберите пары понятий, которые находятся в отношении рода и вида:

а) многоугольник и треугольник;

б) угол и острый угол;

в) луч и прямая;

г) ромб и квадрат;

д) круг и окружность;

е) трехзначное число и двухзначное число.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

2. Назовите пять существенных свойств понятия «равнобедренный треугольник» и изобразите с помощью кругов Эйлера отношение между объемом данного понятия и объемом понятия «остроугольный треугольник». [3, c.25]

Находятся ли понятия «остроугольный треугольник» и «равнобедренный треугольник» в отношении рода и вида?

Свойства:

1. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

2. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

3. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

5. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

 

3. Выделите в определении «Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок перпендикуляра между этой вершиной и прямой, содержащей противолежащую сторону» определяемое и определяющее понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие.

Определяемое понятие:_________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Определяющее понятие:________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Родовое понятие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Видовое отличие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4. Сформулируйте понятие прямоугольника, используя в качестве родового понятия не менее двух различных понятий. Какие видовые отличия необходимо указать в каждом случае?

а) Определение:_______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Родовое понятие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Видовое отличие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

б) Определение:_______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Родовое понятие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Видовое отличие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

в) Определение:________________ _______________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Родовое понятие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Видовое отличие:______________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

5. Какой вид определения понятия используется при введении понятий «четырехугольники» и «прямоугольники» в начальной школе (Дорофеев, Г.В., Миракова, Т.Н. Математика. 1 класс: учебник. В 2 ч. Ч.1, с. 64)?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

6. Какие виды определений используются, по Вашему мнению, при определении понятия «прямоугольник» в следующем случае (Моро, М.И., Бантова, М.А. и др. Математика. 2 класс: учебник. В 2 ч. Ч. 2., с. 14).

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

7. В учебниках математики для начальной школы понятие квадрата формулируется следующим образом: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Выделите в этом определении определяемое понятие, определяющее понятие, родовое понятие и видовое отличие. Какие еще понятия могут быть выбраны как родовые для понятия «квадрат»? Как при этом будет меняться видовое отличие?

Определяемое понятие:_________________________________________

Определяющее понятие:________________________________________

_____________________________________________________________

Родовое понятие:______________________________________________

Видовое отличие:______________________________________________

_____________________________________________________________

Другие варианты родовых понятий:_______________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________