Интегральное исчисление функций одной переменной

Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования.

Определенный интеграл.

Определенный интеграл: интегральные суммы, определение и основные свойства.

Формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенных интегралов.

Методы вычисления определенных интегралов: замена переменной под знаком интеграла, интегрирование по частям.

Приложения определенного интеграла.

Вычисление с помощью определенного интеграла длины дуги кривой.

Вычисление с помощью определенного интеграла площади плоской фигуры.

Вычисление с помощью определенного интеграла объема тела вращения.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы 1 рода: определение, понятие сходимости.

Несобственные интегралы 2 рода: определение, понятие сходимости.

 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Кратные интегралы.

Определение и основные свойства кратного интеграла Римана. Сведение двойных и тройных интегралов к повторным. Замена переменных в кратном интеграле.

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства, сведение криволинейных интегралов 1-го рода к определенным интегралам. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства, сведение криволинейных интегралов 2-го рода к определенным интегралам. Формула Грина на плоскости, применение формулы Грина к вычислению площадей.

Поверхностные интегралы.

Простые поверхности. Криволинейные координаты на поверхности. Формулы площади простой поверхности при различных способах ее задания. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

Теория поля.

Скалярные и векторные поля. Производная скалярного поля по направлению, градиент, оператор Гамильтона. Дивергенция и ротор векторного поля в декартовых координатах. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Инвариантность divA и rotA. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

 

Рекомендуемая литература

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк, Основы математического анализа, М., Наука, Вып. 1 (1967 г), Вып 2 (1980 г.),

Г.М.Фихтенгольц, Основы математического анализа, М., Наука, 1968.

В.М.Шипачев, Высшая математика, М., Высшая школа, 1998.

Б.П.Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1969.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова В.М., Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,ч.2, М., Высшая школа, 1998.

В.М.Шипачев, Задачник по высшей математике, М., Высшая школа, 1998.

В.П.Минорский, Сборник задач по высшей математике, М., Наука, 1971.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1

Вариант № 1

5. Вычислить методом подстановки

6. Вычислить методом интегрирования по частям

7. Вычислить интеграл от рациональной функции

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 2

1. Вычислить методом подстановки

2. Вычислить методом интегрирования по частям

3. Вычислить интеграл от рациональной функции

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

 

Вариант № 3

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

 

Вариант № 4

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, x = 1 и x = 2

 

Вариант № 5

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, y = x, x = 0, x = 1.

Вариант № 6

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, расположенной в 1 четверти и ограниченной линиями

и

Вариант № 7

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить
   интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

 

Вариант № 8

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 9

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Вариант № 10

1. Вычислить методом подстановки

1. Вычислить методом интегрирования по частям

1. Вычислить интеграл от рациональной функции

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Семестр