Основные свойства плотности распределения вероятностей.

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией:

f (x)³0.

2. Вероятность того, что в результате испытания непрерывная случайная величина Х примет какое-либо значение из интервала (a; b), равна определенному интегралу (в пределах от a до b) от плотности вероятности этой случайной величины:

(5.2.19)

.

3. Интеграл в пределах от до от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

(5.2.20)

.

4. Интеграл в пределах от до х от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины:

(5.2.21)

.

Формула (5.2.21) дает возможность отыскать функцию распределения F(x) непрерывной случайной величины Х по ее плотности вероятности.

Пример 5.2.10. Продолжительность популярности данного вида продукции представляет собой непрерывную случайную величину Х. Пусть функцией плотности вероятности для Х является . Какая доля продукции данного вида теряет популярность за период 100 дней?

○ Используя свойство 5 функции распределения случайной величины, согласно формуле (5.2.19) имеем:

.●

Пример 5.2.11. Плотность вероятности случайной величины Х задана так:

(5.2.22)

.

Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

○ Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (5.2.20). Так как

то А p =1, откуда .

Применяя формулу (5.2.21.), получим функцию распределения F(x):

Наконец, формулы (5.2.14) и (5.2.17) с учетом найденной функции F(x) дают: .●

 

Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины

Как и в случае дискретной случайной величины, математическое ожидание представляет собой среднее значение этой величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются усредненными характеристиками степени разброса возможных значений этой величины относительно ее математического ожидания.

Определение 5.2.10. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f (x) называется значение несобственного интеграла (если оно существует):

(5.2.23)

.

Определение 5.2.11. Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой М(Х)= а, а функция f (x) является ее плотностью вероятности, называется значение несобственного интеграла (если оно существует):

(5.2.24)

.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины Х среднее квадратическое отклонение .

Пример 5.2.12. Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

○ Согласно определениям 5.2.10. и 5.2.11. имеем

И, наконец, .●