Вычисление арифметических выражений.

ЛЕКЦИЯ 1

Вычисление арифметических выражений.

1. Вычисления в среде MATLAB возможны в режиме командной строки (готовность системы к работе – знак >>) (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Упрощенный интерфейс в системе MATLAB.

При работе с MATLAB в командном режиме действует простейший строчный редактор. Его команды перечислены в таблице.1.1.

Таблица 1.1. Команды строчного редактора MATLAB.

Комбинация клавиш	Назначение
® или Ctrl+b	Перемещение курсора вправо на один символ
или Ctrl+f	Перемещение курсора влево на один символ
Ctrl+® или Ctrl+r	Перемещение курсора вправо на одно слово
Ctrl+ или Ctrl+l	Перемещение курсора влево на одно слово
Home или Ctrl+a	Перемещение курсора в начало строки
End или Ctrl+e	Перемещение курсора в конец строки
­ и ¯ или Ctrl+р и Ctrl+n	Перелистывание предыдущих команд вверх или вниз для подстановки в строку ввода
Del или Ctrl+d	Стирание символа справа от курсора
или Ctrl+h	Стирание символа слева от курсора
Ctrl+k	Стирание до конца строки
Esc	Очистка строки ввода
Ins	Включение/выключение режима вставки
PgUp	Перелистывание страниц сессии вверх
PgDn	Перелистывание страниц сессии вниз

 

Обратите особое внимание на применение клавиш курсора «вверх» и «вниз». Они используются для подстановки после маркера строки ввода >> ранее введенных строк, например с целью их исправления, дублирования или дополнения. При этом указанные клавиши обеспечивают перелистывание ранее введенных строк снизу вверх или сверху вниз. Такая возможность существует благодаря организации специального стека, хранящего строки с исполненными ранее командами.

2. Вычисления в среде MATLAB возможны в текстовых файлах с расширением.m (так называемые М-файлы, см. рис. 1.2). М-файлы могут быть созданы либо с помощью редактора М-файлов MATLAB, либо в другом редакторе, например Microsoft Word (с присвоением в дальнейшем этому файлу расширения.m). Последний подход является более эффективным, чем работа в командной строке MATLAB, особенно для задач, выполнение которых требует большого объема команд.

 

Рис.1.2. Окно редактора с текстом М-файла

 

М-файлы бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files), содержащие последовательность команд и не имеющие входных и выходных аргументов, и файл-функции (Function M-Files), в которых описываются функции, определяемые пользователем.

 

Константы и переменные

Системные переменные.

Другие виды констант (помимо рассмотренных выше безымянных) в системе MATLAB принято называть системными переменными, поскольку с одной стороны, они задаются системой при ее загрузке, а с другой – могут переопределяться. Основные системные переменные, применяемые в системе MATLAB, перечислены ниже:

 

i или j – мнимая единица (квадратный корень из числа -1);

pi – число (см., например, рис. 1.1.2);

eps – погрешность операций над числами с плавающей точкой ();

realmin – наименьшее число с плавающей точкой ();

realmax – наибольшее число с плавающей точкой ();

inf – значение машинной бесконечности;

ans – переменная, хранящая результат последней операции и обычно вызывающая его отображение на экране монитора (см. рис. 1.1.2);

NaN – указание на нечисловой характер данных (Not-a-Number; неопределенность).

 

Итак, имеем (в режиме командной строки):

 

>> eps ans = 2.2204e-16 >> realmin ans = 2.2251e-308 >> realmax ans = 1.7977e+308 >> 5/0 ans = Inf >> 0/0 ans = NaN

 

Следует еще раз отметить, что системные переменные могут переопределяться. Так, можно задать системной переменной eps иное значение, например, eps=0.001. Тем не менее, значения системных переменных по умолчанию задаются сразу после загрузки системы, в связи с чем системные переменные, в отличие от обычных переменных, никогда не могут быть неопределенными.

Символьная константа – это цепочка (последовательность) символов, заключенных в апострофы, например (в режиме командной строки):

 

>> 'Пример символьной константы' ans = Пример символьной константы >> 'Hello' ans = Hello >> '5+5+7' ans = 5+5+7

 

Отметим, что даже если в апострофы заключается математическое выражение, оно не вычисляется и рассматривается просто как цепочка символов. В частности, в последнем примере '5+5+7' не будет возвращать число 17. Вместе с тем, с использованием специальных функций преобразования символьные выражения могут быть преобразованы в вычисляемые.

 

Переменные.

Переменные – это имеющие имена объекты, способные хранить некоторые, обычно разные по значению, данные (распространные объекты как в математике, так и в программировании). В общем смысле переменная – это область памяти, к которой можно обратиться

В большинстве языков программирования (например, в C/C++, Pascal, Java и др.) для использования переменной необходимо ее предварительно объявить, указав при этом к какому типу она относится. В MATLAB подобное делать не нужно, переменной можно сразу присваивать значение.

Для задания переменным определенных значений в M-языке используется операция присваивания, вводимая знаком равенства:):

 

Имя_переменной = Выражение

 

Так, например, имеем (в режиме командной строки):

>> a=5 a =

Типы переменных заранее не декларируются, а определяются выражением, значение которого присваивается переменной.

Имя переменной (идентификатор переменной) может содержать сколь угодно символов, однако запоминается и идентифицируется лишь 31 начальный символ. Имя любой переменной не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы (иными словами, имя переменной должно быть уникальным). Имя должно начинаться с буквы английского алфавита, может содержать буквы английского алфавита, цифры и символы подчеркивания (_). Запрещается включать в имена переменных пробелы и специальные символы (например +, _, *, / и т.д.). Некоторые специалисты рекомендуют использовать содержательные имена для обозначений переменных, например displ_1 для переменной, обозначающей перемещение первой точки.

Отметим, что в системе MATLAB могут использоваться символьные переменные, причем соответствующие символьные выражения заключаются в апострофы, например (в режиме командной строки):

 

>> c='Sample' c = Sample

 

 

Арифметические операции.

Система MATLAB допускает использование традиционных знаков арифметических операций, некоторые простейшие бинарные (двухоперандные) из которых (для скалярных операндов (величин)) указаны в таблице 1.3.

 

Таблица.1.3. Знаки некоторых простейших арифметических операций (для скалярных операндов) в системе MATLAB.

Символ (оператор)	Выполняемое действие (описание)
+ (оператор сложения)	Вычисляется сумма скалярных операндов (бинарный оператор)
– (оператор вычитания)	Вычисляется разность скалярных операндов (бинарный оператор)
* (оператор умножения)	Вычисляется произведение скалярных операндов (бинарный оператор)
/ (оператор деления)	Вычисляется частное от деления скалярных операндов (бинарный оператор)
^ (оператор возведения в степень)	Вычисляется возведение первого скалярного операнда в степень, определяемую вторым скалярным операндом (бинарный оператор)

 

В качестве простейшего примера имеем (в режиме командной строки):

>> x=1.2 x = 1.2000 >> y=-3.4 y = -3.4000 >> z=+0.1 z = 0.1000 >> Res1=x+y+z Res1 = -2.1000 >> Res2=x-y Res2 = 4.6000 >> Res3=x*y Res3 = -4.0800 >> Res4=x/y Res4 = -0.3529 >> Res5=x^y Res5 = 0.5380

 

Поясним, что символ «-» указанный при задании значения переменной y называется унарный минус, а символ «+» указанный при задании значения переменной z называется унарный плюс (при вводе и выводе значений, как правило, опускается).

 

Арифметические выражения.

Центральным понятием всех математических систем и соответствующих языков программирования является арифметическое выражение (математическое выражение).

Арифметическое выражение задает то, что должно быть вычислено в численном (реже символьном) виде. В таблице 1.6. ниже приведены примеры простейших арифметических выражений, записанных по правилам системы MATLAB и по общематематическим правилам.

 

Таблица 1.6. Некоторые примеры простейших арифметических выражений, записанных по правилам системы MATLAB и по общематематическим правилам.

Выражение, записанное по правилам системы MATLAB	Выражение, записанное по общематематическим правилам
5+7;
2^5*sqrt(y)/3;
2.5*sin(x);
7+exp(3)/5;

 

Разница в записях, представленных в таблице 1.6. достаточно очевидна. В системе MATLAB арифметические выражения записываются в виде одной строки, причем вместо запятой в качестве разделителя целой и дробной частей числа используется точка (а никак не запятая!). Арифметические выражения строятся на основе чисел, констант, переменных, операторов и разных спецзнаков. Специфика системы MATLAB состоит в том, что арифметические выражения задаются в виде одной строки. Так, например, записывается как 2^5. Знак «;» (точка с запятой) в конце строки блокирует вывод результата вычислений, однако системная переменная ans позволяет вывести результат вычислений (в режиме командной строки):

 

>> 2^5; >> ans ans =

Пример. Требуется вычислить следующие арифметические выражения:

1) при

2) при

3) при

4) при

 

Текст М-файла.

k=2;r=2;x=2;y=1; r1=abs(r)^(5*x*y)+tan(3*k) x=.5; r2=sqrt(log(x)^2+1)+3*x^(1/3) x=1; y=2; z=3; r3=(x+3*y)/(2*z)-3*abs(x)*exp(x+y)/(x+y)+1/(1+1/(1+1/x)) x=0.3; r4=sin(x/2)^3+cos(x^2)-2*cos(3*x)^(1/5)

 

Результаты расчета в командном окне:

r1 =

1.0237e+003

r2 =

3.5978

r3 =

-18.2522

r4 =

-0.8193

Следует обратить внимание, что для просмотра результатов работы оператора знак «;» не ставится.

 

Варианты заданий.

Требуется запрограммировать в системе MATLAB (на M-языке) вычисление следующих арифметических выражений:

1.	1)		при ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
2.	1)		при , ,
2)		при
3)		при
4)		при
3.	1)		при , , ,
2)		при ,
3)		при
4)		при , , ,
4.	1)		при ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
5.	1)		при ,
2)		при
3)		при , ,
4)		при
6.	1)		при
2)		при
3)		при
4)		при , ,
7.	1)		при , ,
2)		при
3)		при ,
4)		при ,
8.	1)		при ,
2)		при ,
3)		при
4)		при ,
9.	1)		при ,
2)		при
3)		при
4)		при
10.	1)		при ,
2)		при
3)		при
4)		при ,
11.	1)		при ,
2)		при
3)		при
4)		при
12.	1)		при ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
13.	1)		при ,
2)		при
3)		при ,
4)		при ,
14.	1)		при
2)		при
3)		при
4)		при ,
15.	1)		при ,
2)		при ,
3)		при ,
4)		при ,
16.	1)		при ,
2)		при
3)		при
4)		при ,
17.	1)		при , ,
2)		при
3)		при , , ,
4)		при ,
18.	1)		при , ,
2)		при , ,
3)		при
4)		при , , ,
19.	1)		при , , ,
2)		при ,
3)		при ,
4)		при
20.	1)		при , ,
2)		при ,
3)		при
4)		при
21.	1)		при , ,
2)		при
3)		при
4)		при ,
22.	1)		при , , , , ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
23.	1)		при , , ,
2)		при
3)		при
4)		при
24.	1)		при , ,
2)		при
3)		при , ,
4)		при , , ,
25.	1)		при , ,
2)		при
3)		при , ,
4)		при , ,
26.	1)		при , , ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
27.	1)		при ,
2)		при
3)		при
4)		при ,
28.	1)		при , ,
2)		при
3)		при ,
4)		при
29.	1)		при , , , , ,
2)		при
3)		при ,
4)		при ,
30.	1)		при , , ,
2)		при , ,
3)		при , , ,
4)		при ,
31.	1)		при ,
2)		при , ,
3)		при , ,
4)		при
32.	1)		при , ,
2)		при , ,
3)		при ,
4)		при , ,
33.	1)		при
2)		при ,
3)		при , ,
4)		при ,
34.	1)		при ,
2)		при , ,
3)		при ,
4)		при ,
35.	1)		при , ,
2)		при , ,
3)		при , ,