Математического анализа; геометрия»

Вологодской области

«Череповецкий химико-технологический колледж»

Сборник информационных

материалов к программе по дисциплине

«Математика: алгебра и начала

Математического анализа; геометрия»

для студентов колледжа

Г. Череповец

Сборник информационных материалов к программе по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов колледжа: Пособие по математике для студентов 1 и 2 курсов /Составитель: Дедюкова М.Н. преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова А.В. преподаватель первой квалификационной категории/ – Череповец: Череповецкий химико-технологический колледж, 2017. – 33с.

Содержание

		стр
	Аннотация ………………………………………………………...
	Пояснительная записка …………………………………………..
1.	Тригонометрия …………………………………………………...
	1.1. Числовая окружность ……………………………………….
	1.2. Основные тождества ………………………………………..
	1.3. Таблица тригонометрических значений …………………...
	1.4. Формулы приведения ……………………………………….
	1.5. Макеты числовых окружностей ……………………………
	1.6. Знаки тригонометрических функций …………………….
	1.7. Четность и нечетность тригонометрических функций …...
	1.8. Обратные тригонометрические функции ………………….
	1.9. Свойства обратных тригонометрических функций …...….
	1.10. Формулы сложения аргументов …………………………
	1.11. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи ………………………………………………………...
	1.12. Формулы двойного угла …………………………………
	1.13. Формулы сложения одноименных функций …………...
	1.14. Формулы половинного угла ……………………………..
	1.15. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму …………………………
2.	Производная. Применение производной ……………………….
	2.1. Таблица производных ………………………………………
	2.2. Алгоритм составления уравнения касательной …………
	2.3. Геометрический смысл производной ……………………
	2.4. Схема исследования функции ……………………………
	2.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ……………………………………………………………………...
3.	Степени и корни ………………………………………………….
	3.1. Свойства степеней и корней ………………………………..
	3.2. Таблица степеней ……………………………………………
	3.3. Алгоритм решения показательных неравенств …………...
4.	Логарифмы ………………………………………………………..
	4.1. Свойства логарифмов ……………………………………….
5.	Функции и графики функций ……………………………………
	5.1. Преобразование графиков функции …………...
6.	Первообразная и интеграл ……………………………………….
	6.1. Таблица первообразных …………………………………..
	6.2. Свойства неопределенных интегралов …………………..
	6.3. Вычисление площади криволинейной трапеции ………..
7.	Теория вероятностей и математическая статистика …………...
	7.1. Треугольник Паскаля ………………………………………..
8.	Уравнения и неравенства ………………………………………..
9.	Геометрия …………………………………………………………
	9.1. Многогранники ……………………………………………
	9.2. Тела вращения ……………………………………………..
10.	Решение квадратного уравнения ………………………………..
11.	Четность и нечетность функций ………………………………...
12.	Формулы сокращенного умножения ……………………………
13.	Теорема Пифагора. Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника …………………………………..
14.	Таблица натуральных чисел от 10 до 99 ………………………..
15.	Список литературы ………………………………………………

Аннотация

Сборник информационных материалов предназначен для студентов всех профессий и специальностей, подготавливаемых в колледже. Сборник поможет студентам быстро найти, восстановить в памяти и использовать на практике полученные сведения о том или ином понятии, алгоритме и свойстве, той или иной формуле, что позволит без затруднения решить любой пример или задачу.

 

Разработчик: Дедюкова Марина Николаевна преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова Анна Викторовна преподаватель первой квалификационной категории.

 

 

РАССМОТРЕНО На заседании ЦМК по ООД Протокол №_______ от «_____»______________2017 г. Председатель ЦМК по ООД ______________/ О.С. Гежина /

Пояснительная записка

Сборник информационных материалов содержит основной материал по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»: математические понятия, формулы, свойства, алгоритмы. В сборнике материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно, в одном разделе. Это поможет студентам быстро получить все необходимые сведения об интересующем понятии, таким образом, сборник поможет:

1. Быстро найти нужную информацию о том или ином понятии, свойстве, алгоритме, о той или иной формуле;

2. Повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, зачету, практической работе, контрольной работе, экзамену.

 

 

Тригонометрия

Числовая окружность

Если М(t) = М (х;у), то .

Основные тождества

(основное тригонометрическое тождество)

Макет №1 Макет №2

Sin t cos t tg t ctg t

Четность и нечетность тригонометрических функций

 

Формулы сложения аргументов

 

Формулы двойного угла

sin2α = 2sinα cosα	cos2α = cos2 α – sin2 α
cos2α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2sin2 α

Формулы половинного угла

sinα = 2sin cos	cosα = cos2 – sin2
cosα =2cos2 – 1 = 1 – 2sin2

Преобразование произведения тригонометрических функций

В алгебраическую сумму

Таблица производных

(производная сложной функции)
Правила дифференцирования

 

Схема исследования функции

1. Область определения функции . Обозн.

2. Исследование функции на чётность и нечётность:

· если , то функция чётная (симметрия относительно оси ОУ)

· если , то функция нечётная (симметрия относительно начала координат)

· если оба условия не выполняются, то функция – ни чётная и ни нечётная (функция общего вида)

3. Определение точек пересечения с осью х:

4. Определение точек пересечения с осью y: ,

5. Промежутки возрастания и убывания функции:

· находим производную функции

· находим критические точки

· если на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке

· если на промежутке, то функция убывает на этом промежутке

6. Точки экстремума: , , экстремумы функций , .

7. Контрольные точки.

8. Построение графика функции .

Наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x)

на отрезке [ а; в ]

1. Область определения функции . Обозн. .

2. Находим производную функции .

3. Находим критические точки .

4. Находим , , если , то находим и .

5. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее.

6. Ответ: ; .

Степени и корни

Свойства степеней	Свойства корней
Замечание: 1. 2.

 

 

Уравнение вида имеет решения:

1.

2. , то

3. корней нет

Таблица степеней

Основание а	Показатель степени n
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Логарифмы

Определение логарифма

, где

 

Основное логарифмическое тождество

 

Свойства логарифмов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

 

 

Функции и графики функций

Степенные функции с целым показателем

График	График	n-положительное, чётное, натуральное число
n = 0	n=1
График	График	График
n-положительное, нечётное, натуральное число	n-отрицательное, нечётное, целое число	n-отрицательное, чётное, целое число

 

Степенные функции с дробным показателем

Функции вида

n-чётное	n-нечётное

Показательная функция

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

Логарифмическая функция

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

Преобразование графика функции y = f(x)

f(x)+A	Параллельный перенос графика по оси у на А единиц: вверх, если А > 0, вниз, если А < 0.
f(x-B)	Параллельный перенос графика вдоль оси х на В единиц: вправо, если В > 0, влево, если В < 0. (подсказка: решить уравнение х - В = 0, где х = В, затем определять знак числа В и направление перенос)
C ∙ f(x)	Умножение каждой ординаты у графика функции на число С
f(D∙x)	Деление каждой абсциссы х графика функции на число D
- f(x)	«Зеркальное» отображение графика функции относительно оси х (подсказка: смотри пункт 3)

Первообразная и интеграл

Таблица первообразных

– функция	– общий вид первообразных функции

Неопределенный интеграл .

Теория вероятностей и

Математическая статистика

Факториал .

Перестановки – комбинация из n элементов по n элементов, где отличается только порядок их следования (состав не важен).

.

Размещения – из n элементов выбирается k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом или порядком их следования (важен порядок следования и состав).

– с повторениями; – без повторений.

Сочетания – число комбинаций из n элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом, порядок не важен, важен состав.

 

Бином Ньютона

член разложения бинома Ньютона

Треугольник Паскаля

Вероятность случайного события , где m – количество благоприятных исходов события А, n – количество всевозможных исходов события А.

Теорема Бернулли

Пусть – вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда,

,

где p – вероятность «успеха», а – вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Уравнения и неравенства

 

1. Показательное уравнение где равносильно уравнению

2. Логарифмическое уравнение , где равносильно системе .

3. Показательное неравенство вида равносильно:

а) если то

б) то

4. Логарифмическое неравенство вида равносильно системе неравенств:

а) если то ;

 

б) то .

5. Иррациональное неравенство вида:

а) равносильно системе неравенств ;

б) равносильно совокупности систем неравенств

 

Геометрия

Многогранники

 

	Боковая поверхность	Полная поверхность	Объём
Прямая призма	где периметр основания, Н – высота призмы		где площадь основания, Н – высота призмы
Параллелепипед прямоугольный
Куб
Правильная пирамида	где периметр основания, l – апофема		где площадь основания, Н – высота пирамиды

 

 

Тела вращения
	Боковая поверхность	Полная поверхность	Объём
Цилиндр R H	где R – радиус основания, Н – высота цилиндра	где
Конус	где R – радиус основания, l – образующая конуса	где	где H – высота конуса
Шар	------

 

Решение квадратного уравнения	D>0 – два корня: D<0 – нет корней D=0 – один корень:
Разложение квадратного трехчлена на множители
Четность, нечетность функций	1. 2. f(–x)=f(x) – четная функция, симметрия относительно оси OY 3. f(– x)= – f(x) – нечетная функция, симметрия относительно начала координат
Формулы сокращенного умножения
	разность квадратов
	квадрат разности
	квадрат суммы
	куб суммы
	куб разности
	разность кубов
	сумма кубов

Теорема Пифагора B     а с C A b c2=a2+b2

Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника

Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99

десятки	единицы

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учебник для 10 класса: среднее общее образование / М.И.Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 304 с.

2. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учебник для 11 класса: среднее общее образование / М.И.Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

3. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.

4. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования – М.: Академия, 2012. – 304 с.

 

Вологодской области

«Череповецкий химико-технологический колледж»

Сборник информационных

материалов к программе по дисциплине

«Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия»

для студентов колледжа

Г. Череповец

Сборник информационных материалов к программе по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов колледжа: Пособие по математике для студентов 1 и 2 курсов /Составитель: Дедюкова М.Н. преподаватель высшей квалификационной категории, Ракова А.В. преподаватель первой квалификационной категории/ – Череповец: Череповецкий химико-технологический колледж, 2017. – 33с.

Содержание

		стр
	Аннотация ………………………………………………………...
	Пояснительная записка …………………………………………..
1.	Тригонометрия …………………………………………………...
	1.1. Числовая окружность ……………………………………….
	1.2. Основные тождества ………………………………………..
	1.3. Таблица тригонометрических значений …………………...
	1.4. Формулы приведения ……………………………………….
	1.5. Макеты числовых окружностей ……………………………
	1.6. Знаки тригонометрических функций …………………….
	1.7. Четность и нечетность тригонометрических функций …...
	1.8. Обратные тригонометрические функции ………………….
	1.9. Свойства обратных тригонометрических функций …...….
	1.10. Формулы сложения аргументов …………………………
	1.11. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи ………………………………………………………...
	1.12. Формулы двойного угла …………………………………
	1.13. Формулы сложения одноименных функций …………...
	1.14. Формулы половинного угла ……………………………..
	1.15. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму …………………………
2.	Производная. Применение производной ……………………….
	2.1. Таблица производных ………………………………………
	2.2. Алгоритм составления уравнения касательной