Проверка гипотез о дисперсии.

 

А. Рассматривается нормально распределенная случайная величина .Для получена выборка из независимых наблюдений, где достаточно велико. Чтобы при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии значению , при альтернативной гипотезе : применяется статистика

где - исправленная статистическая дисперсия, вычисленная по выборке. Случайная величина имеет хи-квадрат распределение с числом степеней свободы , для заданного уровня значимости .

Построение области принятие гипотезы зависит от альтернативной гипотезы . Можно выделить следующие случаи:

1. Если альтернативная гипотеза имеет вид: : , то областью принятия гипотезы является интервал (); а полуинтервал [ ) - критической областью. Вычислив по выборке расчетное значение статистики , сравниваем с квантилем , и если , то нет оснований для отвержения основной гипотезы , если же > , то основная гипотеза отвергается.

2. Если альтернативная гипотеза : , то сравнивают с квантилем . Если > , то нет оснований отвергать основную гипотезу ; если же < , то основную гипотезу отвергают.

3. Если альтернативная гипотеза : , то областью принятия гипотезы является интервал ; а объединение полуинтервалов - критической областью. Если , то нет оснований отвергать основную гипотезу .

Б. Рассматриваются две нормально распределённые случайные величины и . Для и получены независимые выборки объемов и . По этим выборкам вычислены исправленные статистические дисперсии и . Нужно сравнить эти дисперсии.

Чтобы при заданном уровне значимости проверить основную гипотезу : о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных случайных величин и , применяется статистика

, где > , ,

имеющая -распределение Фишера-Снедокора с и степенями свободы при заданном уровне значимости . сравнивают с квантилем

-распределения ( число степеней свободы большей исправленной дисперсии), или , в зависимости от альтернативной гипотезы.

1. Если альтернативная гипотеза : и < , то нет оснований для отвержения основной гипотезы . Если > , то основную гипотезу отвергают.

2. Если альтернативная гипотеза : и < , то нет оснований для отвержения основной гипотезы ; если > , то основную гипотезу отвергают.

Задачи

3.19. В соответствии с техническими условиями среднее время безотказной работы для приборов определенного класса должно составлять в среднем 10000 часов со средним квадратическим отклонением часов. Время безотказной работы приборов подчиняется нормальному закону распределения. Из некоторой партии извлечена выборка объема приборов и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия времени безотказной работы приборов часов. Можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если ?

Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос сформулируем основную гипотезу и альтернативную гипотезу . Уровень значимости задан. Объем выборки .

Для проверки гипотезы воспользуемся статистикой . Подставим значения , ; , найдем .

По таблице (приложение № 5), по уровню значимости и числу степеней свободы находим квантиль . Тогда интервал , определяет область принятия гипотезы, а полуинтервал, - критическую область, поскольку То нет оснований для утверждения основной гипотезы . Это значит, что партия приборов удовлетворяет техническим условиям.

Ответ: партия приборов удовлетворяет техническим условиям.

2. Известно, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды. Дисперсия измерений оценки жесткости воды по 50 пробам после добавления специальных веществ равна . Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что генеральная дисперсия измерений равна предполагаемому значению:

а) ; б) .

3.20. Точность наладки некоторого класса приборов характеризуется дисперсией показания прибора. Если эта величина будет больше 120 , то прибор переналаживается. Исправленная выборочная дисперсия 25 случайных измерений прибором оказалось равной: а) б б)

Нужно ли производить наладку прибора, если уровень значимости ?

3.22. Из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка значений коэффициента трения шины по асфальту:

Значения коэффициента трения,	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20	0,21
Частота значений коэффициента трения,

 

 

Согласно технологии изготовления шины при определенной процедуре проверки коэффициента трения установлено, что дисперсия результатов измерений этого коэффициента равна 0,1. Требуется, при уровне значимости , проверить гипотезу о том, что дисперсия результатов измерений коэффициента трения равна 0,1.

3.23. Точность наладки станка – автомата, производящего детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка:

 

длина деталей,	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7
частота,

 

Требуется, при уровне значимости , проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность, если дисперсия длины деталей не должна превышать .

3.24. Фирма работает «устойчиво», если дисперсия величины прибыли не превосходит ден.ед.². Исправленная выборочная дисперсия 15 случайно отобранных фирм оказалась равной ден.ед.². Требуется, при уровне значимости , проверить гипотезу о том, что отобранные фирмы работают не устойчиво.

3.25. По двум независимым выборкам, объемов и , извлеченных из нормально распределенных генеральных совокупностей и , вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется, при уровне значимости , проверить основную гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Решение: Сформулируем основную гипотезу : и альтернативную .

Уровень значимости задан .

Объемы выборок известны и .

Для проверки гипотезы применим статистику .

По таблице – распределения (приложение 7) находим квантиль . Поскольку альтернативная гипотеза : то критическая область правосторонняя , а областью принятия гипотезы является интервал . Так как =1,198< , то нет оснований для отвержения основной гипотезы . Значит, генеральные дисперсии и равны.

Ответ: .

3.26. На предприятии разработаны два метода изготовления изделия и вычислены исправленные дисперсии расхода сырья на единицу готовой продукции кг², кг² по выборкам объемов изделий и изделий. Требуется, при уровне значимости , проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей расхода сырья на единицу изделия.

3.27. Для проверки эффективности нового лекарства были отобраны две случайные группы больных по 30 человек. Одной группе давали таблетки с прежним проверенным лекарством, а другой с новым. В первой группе исправленная дисперсия выздоровления дней, а во второй дня. Требуется, при уровне значимости , проверить гипотезу о том, что новое лекарство не более эффективное, чем прежнее.

3.28. При исследовании работы стабилизатора напряжения в самолете на стенде проведено 12 независимых испытаний:

Выходное напряжение, ,	0,21	0,24	0,28	0,30
Частота значений выходного напряжения,

 

В полете проведено ёще 15 испытаний стабилизатора напряжения в самолете:

Выходное напряжение, ,	0,33	0,34	0,36	0,37	0,40
Частота,

 

 

Требуется, при уровне значимости , сравнив исправленные дисперсии, ответить, есть ли основания полагать, что факторы, воздействующие на стабилизатор в полете, оказывают существенное влияние на точность его работы.

3.29. Результаты независимых измерений производительности двух агрегатов приведены в таблице:

Агрегат № 1	15,0	15,2	15,7	16,0	16,1	16,3	16,6
Агрегат № 2	14,7	15,1	15,5	15,9	16,2	16,4	16,5

 

 

Можно ли считать, что производительности обоих агрегатов равны? Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при уровне значимости .

 

3.30. Для сравнения качества консервов двух заводов взяты две выборки продукции этих заводов. Качество каждой банки консервов оценено в баллах при помощи органолептических показателей. Результаты оценок приведены в таблице:

Завод № 1
Завод № 2

 

 

 

Можно ли считать, что качество продукции одинаковое на заводах №1 и №2, сравнив исправленные дисперсии выборок при уровне значимости . Предполагается, что результаты оценок распределены нормально и выборки независимы.