Векторы в пространстве. Операции над векторами

Вектором в пространстве называется направленный отрезок. Направление вектора обозначается стрелкой.

Длиной вектора называется длина отрезка.

Нулевым вектором называется вектор, длина которого равна 0. Считается, что направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и направление.

Суммой нескольких векторов называется вектор по длине и направлению равный замыкающему пространственной ломаной построенной на этих векторах (рис.1)

Сумма двух векторов и может быть найдена по правилу параллелограмма:

– это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящая из общей точки их приложения (рис.2).

Рис 1.

Рис 2.

Разностью векторов и называется вектор , такой что (рис.3)

Рис 3.

При умножении вектора на скаляр k получается вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если и противоположно направлению вектора , если . Если , направление произвольно.

Векторы, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях называются компланарными.

Замечание 1: Векторы и – коллинеарны.

Скалярным произведением векторов и называется число, находимое по формуле:

, где – угол между векторами и .

Векторы и называются ортогональными, они лежат на перпендикулярных прямых.

Замечание 2: Ненулевые векторы и – ортогональны тогда и только тогда, когда .

Длина вектора находится по формуле:

.

Если начало вектора – точка , а конец его – точка , то координаты вектора

,

и его длина находится по формуле:

.

По этой же формуле находится длина вектора , расстояние между точками А и В.

Координаты середины отрезка АВ при и , найдутся по формуле:

.

Векторным произведением векторов и называется вектор , который ортогонален векторам и , составляет с ними правую тройку, модуль которого находится по формуле и численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Свойства векторного произведения

1. ;

2. ;

3. , если , или и – коллинеарны;

4. .

Если векторы и заданы своими координатами

,

,

тогда

.

Смешанным произведением векторов , и называется результат скалярного произведения вектора на вектор , то .

Свойства векторного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется, если поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, то есть .

2. Модуль равен объему параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. = 0, если, хотя бы один из множителей равен нулевой, любые два вектора коллинеарны, все три вектора компланарны.

4. не изменяется при циклической перестановке сомножителей: .

5. При перестановке местами двух сомножителей меняет знак:

; ; .

Если векторы , и заданы своими координатами

,

,

тогда

.

Замечание 3. Объем V треугольной призмы, построенной на векторах , и находится по формуле:

.

СЕМИНАР 9.