Решение систем линейных алгебраических уравнений

МЕТОД ГАУССА

Вопросы

1. Как выглядит матрица ступенчатого вида. Приведите схему. Какие элементы этой матрицы называются угловыми.

2. В чем суть метода Гаусса.

3. В чем заключается обратный ход метода Гаусса.

4. В чем заключается преобразование со строками матрицы системы I типа.

5. В чем заключается преобразование со строками матрицы системы II типа.

6. Формулы Крамера для решения системы 3-х линейных уравнений.

7. Когда можно найти решение СЛАУ по формулам Крамера.

8. Формула для нахождения обратной матрицы.

 

Метод Гаусса заключается приведении СЛАУ к ступенчатому виду (прямой ход) и последовательном нахождении неизвестных (обратный ход). Поясним смысл метода на системе 3-х уравнений с 3-мя неизвестными.

.

Прямой ход.

Допустим, что (если , то меняем порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю).

Первый шаг: делим уравнение (1) на , умножаем полученное уравнение на – и прибавляем к (2); затем умножаем на – и прибавляем к (3). В результате первого шага переходим к системе

.

Причем получаются из по следующим формулам:

.

Второй шаг: поступаем с уравнениями (5), (6) точно так же, как с уравнениями (1), (2), (3) и т. д. В итоге исходная система преобразуется

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда (обратный ход).

Пример решения задачи.

Решить систему методом Гаусса.

Прямой ход.

Разделим первое уравнение на 2. Получим

.

Умножаем 1-е уравнение на –3 и прибавляем ко 2-му, получаем второе уравнение в виде:

.

Умножая 1-е уравнение на –2 и прибавляем 3-ему, третье уравнение получаем в виде

.

Умножим полученные уравнения на –1 и поменяем местами.

Получаем преобразованную систему уравнений. Далее действуем аналогично.

Разделим второе уравнение на 6; умножим его на –11 и прибавим к третьему.

.

Обратный ход. Из последней системы находим последовательно решение системы

; .

Проверка

1) .

.

8 = 8.

2) .

132 - 80 - 48 = 4.

4 = 4.

3) .

88 - 32 - 48 = 8.

8 = 8.

Ответ: x = 44; y = 16; z = - 24.

МЕТОД КРАМЕРА

Пусть дана СЛАУ третьего порядка:

,

где

– матрица коэффициентов системы.

Метод Крамера можно использовать только при условии .

Тогда решение системы может быть найдено по формулам Крамера:

; ; ,

где

– основной определитель. Он составлен из коэффициентов перед неизвестными.

; ;

– дополнительные определители. Они получаются из основного определителя путем замены 1, 2 и 3 столбца столбцом свободных членов (соответственно).

 

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Квадратная матрица называется обратной для матрицы А, если выполняется следующее соотношение

,

где Е – единичная матрица.

Например:

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. Если определитель матрицы равен 0, она называется вырожденной.

 

Всякая невырожденная матрица

имеет обратную матрицу

,

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы А.

Чтобы найти матрицу, обратную данной, необходимо:

1) вычислить определитель данной матрицы (убедится, что );

2) найти алгебраические дополнения ее элементов ;

3) составить матрицу из алгебраических дополнений , взятых в том же порядке, что и элементы в матрице А;

4) матрицу транспонировать, т. е. поменять местами строки и столбцы: ;

5) каждый элемент матрицы разделить на определитель матрицы А. Полученная матрица является обратной для матрицы А.

Пример выполнения задачи

Найти матрицу , обратную матрице А

.

Вычислим определитель (иначе – детерминант) матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов:

.

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составляем матрицы и :

;

.

Следовательно,

.

Для контроля вычислений покажем, что :

.