Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Рассмотрим прямоугольник из 4-ёх элементов матрицы :

Назовём элемент ведущим, строку, в которой он стоит - ведущей строкой. По правилу прямоугольника пересчитывается элемент, стоящий по диагонали от ведущего элемента по следующей формуле:

Очевидно, что формула упростится, если ведущий элемент . Поэтому, если в системе есть элементы равные 1, то их рекомендуется выбирать ведущими.

Для проверки верности счёта к расширенной матрице приписывается столбец сумм, элементы которого равны построчным суммам матрицы . Над элементами контрольного столбца производятся те же операции, что и над элементами матрицы . Если сумма строки равна соответствующему элементу контрольного столбца, рассчитанного по правилу прямоугольника, то счёт ведётся верно, в противном случае следует искать ошибку в счёте.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение:

Выпишем матрицу ; припишем к ней контрольный столбец.

За ведущий элемент примем 1, стоящую в первой строке и 3–ем столбце (Ведущими можно выбирать только элементы основной матрицы, т.е. матрицы без столбца свободных членов). Ведущую строку перепишем без изменения, в ведущем столбце запишем нули, все остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

, т.е.

Пример пересчёта элемента 2, стоящего во второй строке и первом столбце:

Пример пересчёта элемента -1, стоящего во второй строке и втором столбце:

Далее примем за ведущий элемент единицу, стоящую в третьей строке и первом столбце. Третью строку и третий столбец перепишем без изменения, в первом столбце запишем нули, остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

, т.е.

Разделим вторую строку на 2 (это равносильно делению обеих частей уравнения на 2), получим

Выбираем ведущей 1, стоящую во второй строке и втором столбце (заметим, что строка и столбец могут быть ведущими только 1 раз).

Вторую строку, первый и третий столбцы переписываем без изменения, во втором столбце записываем нули, остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.

, т.е.

Таким образом, получили ответ

Задания для самостоятельной работы

1. Решить систему линейных уравнений используя правило Крамера и матричный способ

2. Решить систему линейных уравнений используя метод Гаусса:

Рекомендуемая литература: 1.1 [с.7-10], 1.2 [с.11-12], 2.1 [с. 88-89].

Самостоятельная работа №3

Тема: Операции над векторами. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов

Цель: закрепление умения производить действия над векторами в координатной и геометрической форме. Находить координаты вектора, модуль вектора, скалярное произведение векторов через координаты

Время выполнения: 4 часа

Теоретический материал

Вектором называется направленный отрезок. Обозначения: a, ,

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Проекцией вектора АВ на ось OX (OY) называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси OX (OY), где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось OX (OY).

Проекции вектора на координатные оси – координаты вектора: . Длина вектора находится по формуле

.

Пусть α, β, γ – углы, образованные вектором с осями координат (Ox, Oy, Oz соответственно), тогда

, ,