Приложения смешанного произведения в геометрии

 

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если , то , и - правая тройка; если , то , и - левая тройка.

 

2. Установление компланарности векторов.

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю :

векторы , и компланарны.

 

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенный на этих же векторах, равен .

Пример 5.1. Даны векторы . Найти смешанное произведение векторов и двумя способами. Выяснить, будут ли эти векторы компланарными. Какую тройку, левую или правую, они образуют? Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение. Для нахождения смешанного произведения векторов и первым способом, воспользуемся определением. Сначала найдем векторное произведение векторов и по формуле (4.3):

.

Далее находим скалярное произведение векторов и по формуле (3.2):

.

 

Чтобы найти смешанное произведение трех векторов и вторым способом, воспользуемся формулой (5.2):

.

Итак, .

Так как , то заданные векторы не компланарны.

Поскольку , то эти векторы образуют правую тройку.

Искомый объем параллелепипеда .

,

Пример 5.2. Даны вершины тетраэдра . Найти: 1) площадь сечения , если − середина ребра . 2) высоту тетраэдра, опущенную из вершины D.

Решение. 1) Находим координаты точки − середина ребра :

.

.

Значит, .

 

2) Пусть DH – высота тетраэдра. Объем тетраэдра находится по формуле

.

Значит, . Решение задачи сводится к определению объема тетраэдра и площади треугольника ABC. , где - объем параллелепипеда, построенного на векторах ; , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах .

По формуле (2.10) находим координаты векторов :

.

Находим смешанное произведение векторов по формуле (5.2):

.

Значит, .

Находим векторное произведение векторов по формуле 4.3:

.

Значит, .

Теперь находим высоту тетраэдра:

.

,

 

6. БАЗИС.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ

 

Линейно зависимые и линейно независимые

Системы векторов

 

Выше были введены операции над векторами, находящимися на плоскости () или в 3-х-мерном пространстве (). Так же было определено понятие «n -мерный вектор», и введены операции над ними в n -мерном пространстве.

Если мы в n -мерном пространстве рассматриваем точку , то этой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор . Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому радиус-вектору ставиться в соответствие точка , т.е.

.

Теперь можно ввести корректное понятие «n -мерное векторное пространство».

 

Определение 6.1. Множество всех n -мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительнымn-мерных векторным арифметическим пространством .

Если в n -мерном векторном пространстве введена операция скалярного умножения, то оно называется евклидовым пространством.

 

Надо отметить, что любую совокупность векторов пространства можно считать как систему векторов.

 

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Определение 6.2. Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что

. (6.1)

 

Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

Определение 6.3. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (6.2)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

 

Приведем теоремы (без доказательства), устанавливающие условия линейной зависимости векторов на плоскости и в 3-х-мерном пространстве.

Теорема 6.1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 6.2. Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора линейно независимы.

 

Пример 6.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

.

Решение. Составим их линейную комбинацию:

или

.

 

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

.

 

Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

 

Последняя матрица равносильна следующей системе уравнений:

Можно не решая системы уравнений сказать, что система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевое. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: . Значит, , т.е. указанная система векторов линейно зависима.

,

 

Базис системы векторов.