Логическое совпадение(эквивалентность)

Соединение двух простых высказываний А и В в одно сложное с использованием оборота “…тогда и только тогда, когда …” называется эквивалентностью.

В литературе операция импликации обозначается как ↔ или ~.

Пример: высказывание А=”Х – четное число”,

высказывание В=”Х делится без остатка на два”,

эквивалентность A ↔ B = “ Х – четное число тогда и только тогда, когда Х делится без остатка на два ”.

ЭквивалентностьA ↔ B будет истинна только тогда, когда истинны или ложны оба составляющие ее высказывания одновременно:

A	B	A ↔ B

Эквивалентность можно представить через операции НЕ, И, ИЛИ:

A ↔ B ≡ & + A&В

 

Логические функции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему функций или базис – систему логических функций, позволяющую строить логические функции любой сложности.

Логические высказывания, объединенные логическими функциями, образуют переключательные функции – они, как и входящие в них аргументы, могут принимать только два значения – истина (1) или ложь (0).

Среди переключательных функций особое место занимают тавтологии – переключательные функции, значение которых истинно для любых значений входящих в них аргументов. Тавтологии выражают основные законы алгебры логики:

· закон исключенного третьего

· закон противоречия

· закон двойного отрицания

· закон де Моргана

· закон контрапозиции

· закон расширенной контрапозиции

· закон перестановки посылок

· закон силлогизма

 

Закон исключенного третьего

Этот закон выражается тавтологией:

А + ≡ 1

логическая сумма высказывания и его отрицания всегда истинна.

Закон исключенного третьего можно проверить таблицей истинности:

А		А+

Известна и латинская формулировка этого закона: “Tertium non datur”, что в переводе означает “Третьего не дано”.

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

дизъюнкция этих высказываний А+ = “ Сегодня пятница ИЛИ сегодня НЕ пятница ”.

“НЕ пятница” означает любой другой день недели, кроме пятницы. Значит, сложное высказывание А+ говорит о том, что сегодня пятница ИЛИ любой другой день недели – оно всегда истинно. День недели – это или пятница, или НЕ пятница – третьего варианта не будет. Поэтому этот закон называется законом исключенного третьего.

Закон гласит о том, что любое событие либо состоится, либо его не будет, но какой-то из этих двух вариантов обязательно произойдет.

 

Закон противоречия

Этот закон выражается тавтологией:

А & ≡ 0

логическое произведение высказывания и его отрицания всегда ложно.

Закон противоречия третьего можно проверить таблицей истинности:

А		А&

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

конъюнкция этих высказываний А& = “ Сегодня пятница И сегодня НЕ пятница ”.

Сложное высказывание А& всегда ложно – не может быть в один и тот же день и пятница, и НЕ пятница, то есть любой другой день недели. Это абсурд, нонсенс, противоречие.

 

Закон двойного отрицания

Этот закон выражается тавтологией:

≡ А

двойное отрицание высказывания эквивалентно самому высказыванию.

Закон двойного отрицания можно проверить таблицей истинности:

А

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

высказывание = “ Неверно, что сегодня НЕ пятница ”.

 

Высказывание “ Неверно, что сегодня НЕ пятница ” полностью эквивалентно исходному высказыванию ”Сегодня пятница”.

 

Закон контрапозиции

Этот закон выражается тавтологией:

(A=>B) ≡ ( => )

если из одного высказывания следует второе высказывание, то из отрицания второго высказывания следует отрицание первого высказывания.

Закон контрапозиции находит широкое применение в косвенных доказательствах “отпротивного”.

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание В=”Завтра суббота”,

высказывание A=>B = “ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.

высказывание => = “Если завтра НЕ суббота, то сегодня НЕ пятница”.

Последнее высказывание эквивалентно высказыванию “ Если сегодня пятница, то завтра суббота”.