Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят функции:

аркси́нус (обозначение: arcsin)

аркко́синус (обозначение: arccos)

аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)

Арксинус y=Arcsinx определен для , многозначна.Другие значения y=Arcsinx выражаются черезглавное его значение формулой . Следовательно, область определения y=аrcsinx – [­-1;1]; область значений [ ]. Функция y=аrcsinx нечетная, на [­1;1] монотонно возрастает от . График функции проходит через (0,0). Эта точка является и точкой перегиба графика. На [-1;0] функция выпуклая, на [0,1]- вогнутая.

Арккосинус y=Arccosx определен для , многозначна.Другие значения y=Arccosx выражаются черезглавное его значение формулой . Область определения y=аrccosx – [­1;1]; область значений [ ]. Функция y=аrccosx на [­-1;1] монотонно убывает от . Для y=аrccosx выполняется неравенство аrccos(-x)=π-аrccosx. График функции проходит через (0, ). Эта точка является и точкой перегиба и центром симметрии кривой. На [-1;0] функция вогнутая, на [0,1]- выпуклая.

Арктангенс y=Arctgx определен для , многозначна.Другие значения y=Arctgx выражаются черезглавное его значение формулой . Область определения y=аrctgx – [-∞; ∞]; область значений от .Функция y=аrctgx нечетная. Функция y=аrctgx на [-∞; ∞] монотонно возрастает от . График функции проходит через (0,0). Эта точка является и точкой перегиба и центром симметрии кривой. На [-∞;0] функция вогнутая, на [0,∞]- выпуклая.

Арккотангенс y=Arсctgx определен для , многозначна.Другие значения y=Arсctgx выражаются черезглавное его значение формулой . Область определения y=аrсctgx – [-∞; ∞]; область значений от .Функция y=аrcсtgx на [-∞; ∞] монотонно убывает от .Для y=аrcctgx выполняется неравенство аrcctg(-x)=π-аrcctgx. График функции проходит через (0,0). Эта точка является и точкой перегиба и центром симметрии кривой. На [-∞;0] функция выпуклая, на [0,∞]- вогнутая.

Графики функций

arccos x arcsin x

arcctg x arctg x

Свойства обратных тригонометрических функций

 

Задания.

 

№ 1. Построить графики функций:

1. y=cos2x
2. y=sin(x-П/3)
3. y=tgx/3
4. y=ctg(2x+П/3)

№ 2. Вычислить:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

№ 3. Выяснить, какое из следующих двух чисел больше

1.

2.

Занятие 9.

 

Тема занятия: «Основные свойства и формулы. Преобразование тригонометрических выражений.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Основные тригонометрические свойства.

Формулы сложения аргументов

Формулы двойного угла

Формулы понижения степени

Синус	Косинус	произведение

Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования суммы функций

 

Задания.

 

№ 1. Вычислить.

1. 
2. 
3. 

№ 2. Найти значение

1.

2.

№ 3. Вычислить без помощи таблиц

1.

2.

3.

4.

 

Занятие 10.

 

Тема занятия: «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Определение. Функцию вида называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у =а^x

Свойства функции.

a>1	0<a<1
E(f)=(0,+ )	E(f)=(0,+ )
не является ни четной, ни нечетной
Возрастает	Убывает
Непрерывна	Непрерывна
не ограничена сверху, ограничена снизу
выпукла вниз.
ось х является горизонтальной асимптотой графика.

Графики функции.