Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей.

Задание:

1) Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью шаг h=0,1.

Теоретическая часть.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существует много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

(1)

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

(2) .

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков 3f (x), 4f (x), ј.

Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности 3, 6, 11, 18, 27, 38, ј.

Первые разности равны:

6 – 3, 11 – 6, 18 – 11, 27 – 18, 38 – 27, ј, т.е. 3, 5, 7, 9, 11, ј;

Разности второго порядка постоянны и равны 2.

В общем виде такие последовательности можно записать как

(3)

где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями

(4)

а n может принимать любое допустимое для индекса значение.

В некоторых приложениях используются последовательности вида

(5) ,

где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа D используется символ «разделенной разности». Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:

Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.

Варианты заданий

№ 1. № 2

№ 3 № 4

№ 5 № 6

№ 7 № 8

№ 9 № 10

 

№ 11 № 12

 

№ 13 № 14

№ 15 № 16

№ 17 № 18

№ 19 № 20

№ 21 № 22

 

№ 23 № 24

 

№ 25 № 26

№ 27 № 28

№ 29 № 30

Образец выполнения задания

 

Разбив отрезок [2; 2,3] на части с шагом h=0,1 (рис. 7) получим четыре узловые точки с абсциссами Две точки и являются конечными, а две другие –

2,0 2,1 2,2 2,3

Рис. 7

 

Внутренними. Данное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением

 

(i=1, 2).

Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:

 

Данная задача сводиться к решению системы уравнений

 

 

Выполнив преобразование имеем

Подставив значение в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему

 

Для решения полученной системы воспользуемся, например, схемой «главных элементов».

 

				Свободные члены
-0,00113507 0,526788 -1	-2,9 375,9	-841 391,6	-1 464,1 -881	0,1 4,2 -1045,66	0,2 3,2 -1535,06
0,00560179 -1	-2,9 375,9	3,55551 -643,7098	- -	1,28690 -546,6411	1,94240 -805,4511
-1	-79429	-	-	-1,77527	-2,56957
	2,2350 3,2351	2,1849 3,1849	2,1580 3,1580

Ответ:

x	y	x	Y
2,0	2,235	2,2	2,158
2,1	2,185	2,3	2,150

 

 

Контрольные вопросы

 

1) Объяснить метод конечных разностей.

2) Дать определение разности схем.

3) Описать сущность метода сеток.

4) Дать определение узла и сетки.

5) Суть прямого и обратного хода метода прогонки.

6) Алгоритм метода конечных разностей.

Заключение

Методических указаний составлены для повышение уровня самостоятельной работы студентов при выполнении лабораторных работ по курсу «Моделирование систем».

Методические указания составлены в соответствии с программой курса «Моделирование систем». В них содержится информация по пяти лабораторным работам:

· Методы решения систем линейных уравнений

· Методы решения систем нелинейных уравнений.

· Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом прямоугольников.

· Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом Симпсона и методом трапеций

· Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей

В каждой лабораторной работе содержатся теоретическая часть, цель работы, порядок выполнения работы, отчетность, вопросы по зачетам и список литературы.

К выполнению лабораторных работ студенты могут приступить только после изучения соответствующего раздела курса, используя настоящее пособие и техническую литературу, приведенную в конце методических указаний.

Разрешение на выполнение работ дает преподаватель, после того, как убедится в наличии у студентов знаний по выполнению и оформлению соответствующей работы.

В каждом отчете по лабораторной работе должны быть сделаны выводы по результатам работы.

Защита лабораторных работ производится индивидуально по теоретическому и практическому материалу. В случае несоответствия результатов расчетов с правильным решением студенты в ходе зачета должны дать соответствующие пояснения.

Настоящие методические указания помогут студентам подготовиться к лабораторным занятиям, повышать качество отчета и ее защиту.

Список литературы

 

1. Воробьева Г.Н. Данилова А.Н."Практикум по вычислительной математике"М.:"Высшая школа" 1990.

2. Демирчан К.С., Бутырин П.А."Моделирование и машинный расчет электрических цепей."-М.:"Высшая школа"1998.

3."Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств."/ под ред. Бенсона Э.М.: М."Радио и связь"1981.

 

 

 

моделирование систем управления

 

Методические указания для студентов направления: 220400.62 «Управление и информатика в технических системах».

 

 

Составители: Глухов Дмитрий Олегович, Петухов Игорь Валерьевич.

Редактор: Чернышев А. Ю, к.т.н., доцент

 

ПЛД № 2018 от

 

Подписано в печать 15.10.03 Формат 60´84/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. 2,1

Тираж 200 экз. Заказ №.С-130

 

Поволжский государственный технологический университет 424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3

 

 

Отдел оперативной полиграфии

Поволжский государственный технологический университет 424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17