Лабораторная работа 1.2 Оценка параметров и определение закона распределения

Пример. Исследуется случайная величина ‒ число правонарушений в течение одних суток в некотором городе N. Получены данные за первые 150 суток года.

 

Цель работы. Требуется провести первичную статистическую обработку данных, проверить гипотезу о виде распределения случайной величины с помощью критерия согласия Пирсона. Расчетные соотношения. Данная задача решается с помощью статистических процедур Анализа данных и статистических функций библиотеки встроенных функций MS Excel. Приведем алгоритм решения задачи.

1. Ввод данных. В диапазон ячеек А1:АN ввести выборочные значения.

2. Построение вариационного ряда. Скопировать содержимое ячеек А1:АN в ячейки В1:ВN. Упорядочить выборочные значения, используя кнопку сортировки по возрастанию.

3. Построение статистического ряда выборки. В ячейки С1:СК ввести k различных выборочных значений. В меню Данные выделить строку Анализ данных, выделить процедуру Гистограмма. В поле Входной интервал диалогового окна Гистограмма ввести ссылку на диапазон А1:АN. В поле Интервал карманов ввести ссылку на диапазон С1:СК. Активизировать поле Выходной интервал и ввести в это поле ссылку – левая верхняя ячейка, в которую будет введена таблица результатов решений. Установить флажок Вывод графика. Составить табл. 1.3 статистического ряда по следующему образцу:

Таблица 1.3

x i различные выборочные значения

ni   частота выборочного значения x i

относительная частота выборочного значения xi

Накопленная относительная частота

 

Первые столбцы заполнить копированием. Относительные и накопленные частоты вычислить с использованием формул.

4. Построение полигонов относительных и накопленных относительных частот.

Скопировать первый и третий столбцы табл. 1.3. Выделить их. Используя меню Вставка, применить к выделенным числам средство диаграммы Точечная. Полученный график есть полигон относительных частот. Если эти же действия проделать с первым и четвертым столбцами табл. 1.3, то получим полигон накопленных частот ‒ сглаженный график эмпирической функции распределения.

5. Определение выборочных характеристик. В меню Данные выделить подменю Анализ данных, выделить процедуру Описательная статистика, в поле ввода Входной интервал ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащий статистические данные А1:АN. Установить флажок Итоговая статистика. Активизировать поле Выходной интервал, ввести в это поле ссылку – левая верхняя ячейка, в которую будет введена таблица результатов решений.

6. Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины с помощью критерия согласия Пирсона. Заполнить табл. 1.4.

Таблица 1.4

xi различные выборочные значения

ni частота выборочного значения x i

Pi Теоретическая вероятность выборочного значения x i

Теоретическая частота выборочного значения x i

 

Первые столбцы заполнить копированием, а оставшиеся ‒ вычисленными по формулам значениями. Если проверяется гипотеза о распределении Пуассона, то теоретические вероятности вычислить с помощью функции ПУАССОН (x_i, ,0). - выборочное среднее, оно определяется в пункте 5, 0 – параметр, показывающий, что вычисляется вероятность того, что случайная величина, распределенная по закону Пуассона, принимает значение. Если проверяется гипотеза о биномиальном распределении случайной величины, то теоретические вероятности вычислить с помощью функции БИНОМРАСП(x_i,N,P,0), при этом вероятность успеха P в одном испытании определить по формуле где ‒ выборочное среднее. В случае других распределений воспользоваться справкой о статистических функциях библиотеки встроенных функций MS Excel.

Значение

является наблюдаемым значением случайной величины Число степеней свободы этой случайной величины равно r= k-2 при проверке гипотезы о распределении Пуассона и r= k-3, если проверяется гипотеза о биномиальном распределении. Критическое значение случайной величины определить с помощью функции = ХИ2ОБР(ɑ,r), где ɑ ‒ уровень значимости. Полученное наблюдаемое значение сравнить с .

Если < , то гипотеза о виде распределения принимается при уровне значимости ɑ. Если > то гипотеза отвергается с уровнем значимости ɑ.

Решение. По предложенному алгоритму проведем первичную статистическую обработку данных. Согласно пункту 3 алгоритма находим k=11 различных выборочных значений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

С помощью пакета Анализ данных получаем статистический ряд выборки и его графическое представление (рис. 1.3).

Рисунок 1.3.

Построенная гистограмма позволяет сделать предположение о виде распределения случайной величины X. В результате заполнения табл. 1.3 получим табл. 1.5, в третьем столбце которой, представлены относительные, а в четвертом – накопленные относительные частоты выборочных значений.

Таблица 1.5

xi	ni	ni/N	ni*/N
		0,006667	0,006667
		0,04	0,046667
		0,106667	0,153333
		0,146667	0,3
		0,13	0,43
		0,253333	0,733333
		0,126667	0,36
		0,036667	0,946667
		0,04	0,936667
		0,006667	0,993333
		0,006667

Ряд1

Согласно пункту 4 алгоритма получим полигоны относительных и накопленных частот (рис. 1.4, 1.5).

 

Ряд1

Рисунок 1.4.

Рисунок 1.5.

Согласно пункту 5 алгоритма получаем выборочные характеристики (табл. 1.6).

Таблица 1.6

Среднее	4,493333
Стандартная ошибка	0,150637
Медиана
Мода
Стандартное отклонение	1,345534
Дисперсия выборки	3,405996
Эксцесс	-0,12004
Асимметричность	0,130329
Интервал
Минимум
Максимум
Сумма
Счет

 

Проверим гипотезу о распределении случайной величины по закону Пуассона. В качестве точечной оценки параметра распределения выбираем выборочное среднее λ= = 4,49. В результате заполнения табл. 1.4 получим табл. 1.7. Наблюдаемое значение случайной величины х² = 9,261528. Оно получено суммированием чисел последнего столбца табл. 1.6. Критическое значение X ² =ХИ2ОБР (а, r) = 16,91898, где а = 0,05, r = k - 2 = 11 - 2 = 9. Так как < ,то гипотеза о распределении по закону Пуассона при уровне значимости а = 0,05 не противоречит опытным данным.

Таблица 1.7

xi	ni	Р'	ni'	ХИ2
		0,011133	1,677501	0,273626
		0,05025	7,53756	0,313644
		0,112396	16,93439	0,051557
		0,169093	25,36393	0,446146
		0,139943	23,49213	0,073142
		0,170699	25,6049	6,00035
		0,127335	19,17521	0,001601
		0,032053	12,30365	0,033331
		0,046039	6,913355	0,120667
		0,02301	3,451554	1,741273
		0,010339	1,550397	0,195635
				9,261523