Лагранжев и Эйлеров подходы к описанию движения сплошной среды

 

При описании движения по Лагранжу мы следим за тем,что происходит в каждой индивидуальной частице среды.Частицы движутся, и приборы, измеряющие их параметры, следуют за каждой из них, например движутся вместе с ними (рис. 2.1а).

С точки зрения Лагранжа, мы интересуемся законами изменения скорости , температуры , давления и других величин для данной индивидуальной точки среды:

(2.4)

При описании движения по Эйлеру мы изучаем, что происходит в точках пространства, через которое движется среда. Обычно Эйлеров подход используется, когда нам не важно знать историю движения каждой индивидуальной частицы – где она была когда-то, куда попадет в будущем, а важно лишь знать, что происходит в данном месте.

Величины, характеризующие движение сплошной среды рассматриваются при эйлеровом подходе как функции пространственных координат и времени :

 

(2.5)

Лагранжев и эйлеров подходы к описанию движения среды схематически изображены на рисунке 2.1.

 

 

а) б)

 

Рисунок 2.1 ­­– a) лагранжево описание: шары с измерительными приборами летят вместе с частицами воздуха; б) эйлерово описание: параметры воздушного потока измеряют приборы, помещенные на специальных мачтах

 

Переход от лагранжева описания к эйлерову

Пусть известны все параметры, описывающие движение, как функции времени и лагранжевых координат, то есть известны , и т.д. В частности, известен закон движения

 

,

,

.

 

Найдем из этих соотношений как функции от :

 

 

Подставляя эти выражения в функции , и т.д., найдем скорость, температуру и другие параметры как функции пространственных координат и времени, то есть в эйлеровом описании:

 

 

 

Переход от эйлерова описания к лагранжеву

Пусть нам известно все с точки зрения Эйлера. В частности, известны скорости среды во всех точках во все моменты времени , то есть известна функция . Как найти закон движения? Как ввести лагранжевы координаты?

По определению, компоненты скорости каждой точки равны производным по времени от пространственных координат точки:

 

, , .

(2.6)

Эти соотношения представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения , как функций времени. Для нахождения решения необходимо задать значения в начальный момент времени. Если при задано, что , то решение записывается в виде:

 

Это и есть закон движения (2.2). Начальные координаты можно взять в качестве лагранжевых координат. Вводя обозначения , , , будем иметь , где для краткости через обозначен набор . Подставляя полученные выражения для в функции , и т.д., получим интересующие нас параметры как функции времени и лагранжевых координат, то есть в лагранжевом описании: