Тема: Составление уравнений прямых, их построение

Цель: Формирование навыков составления уравнений прямых, их построения

Время выполнения: 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение первой степени относительно переменных и , то есть уравнение вида при условии, что коэффициенты и одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение .

Каноническое уравнение прямой записывается в следующем виде , где и - координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид , где и - соответственно абсцисса, и ордината точек пересечения прямой с осями и .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси , а - ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид , где - угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид . Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , находится из соотношения .

Пример

Задание 1: Построить прямую .

Решение: Найдем точки пересечения прямой с осями и .

Пусть .

Пусть .

Изобразим найденные точки на координатной плоскости и соединим их, таким образом, получим прямую заданную уравнением (рис. 1).

Рисунок 1 - График прямой

Задание 2: Построить прямую .

Решение: Перепишем уравнение в виде: , то есть и . Таким образом, получаем точки и , прямая проходящая через точки и является искомой (рис. 2).

Рисунок 2 - График прямой .

Задание 3: Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

Решение: Вектор коллинеарен искомой прямой. Для составления уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой: . Таким образом, подставив в данное уравнение , , , получим искомое уравнение прямой проходящей через начало координат и точку :

.

Задание 4: Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .

Решение: Пусть - произвольная точка искомой прямой. Вектор перпендикулярен вектору . Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть . Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим:

.

Уравнение искомой прямой имеет вид .

Задания для практической работы

1. Проверьте, принадлежат ли точки , , и прямой .

2. Постройте фигуру, ограниченную линиями , , и . Вычислите площадь этой фигуры.

3. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках на осях и постройте данные прямые:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору .

5. Составьте уравнение прямой, перпендикулярной вектору и проходящей через точку пересечения прямых и .

6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и параллельно прямой .

7. Даны координаты вершин треугольника : , , . Запишите уравнения прямых, на которых расположены:

а) медиана ;

б) высота этого треугольника.

8. В треугольнике из вершины проведены высота и медиана (рис. 3). Даны: вершина , уравнение высоты и уравнение медианы . Найти координаты вершины .

Рисунок 3 - Треугольник

Контрольные вопросы:

1. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

2. Какой вид имеет векторное уравнение прямой?

3. Какое уравнение называется каноническим уравнением прямой?

4. Запишите уравнение прямой в отрезках на осях и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Какой вид имеют уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и прямой, проходящей через две данные точки?

6. Запишите условие параллельности двух прямых.

7. Запишите условие перпендикулярности двух прямых.

Рекомендуемая литература: 1.1 [с. 300-308], 1.2 [с. 304-326], 1.3 [с. 52-62], 2.1 [с. 6-15].

Практическая работа №7