Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть . (15.1)

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . (15.2). То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ; 2) ;

3)

Задания для практической работы

Вычислите определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13) .

Контрольные вопросы:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

5. Сформулируйте теорему о среднем.

6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.

7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.

Рекомендуемая литература: 11.1 [с. 271-282], 1.2 [с. 205-212], 1.3 [с. 374-396], 2.2 [с. 247-250].

Практическая работа №16

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис.2).

Рисунок 2 - Трапеция, ограниченная кривой , осью и двумя прямыми и , где .

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис.3), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

	Рисунок 3 -Трапеция, прилегает к оси так, что ,		Рисунок 4 - Трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и лежит под осью

 

 

Рисунок 5 - Трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми

и , расположена по обе стороны от оси .

 

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.4), площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 5), то .

Рисунок 6 - Трапеция, двумя пересекающимися кривыми

и , прямыми и .

 

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 6) Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 7).

Рисунок 7 - Фигура, ограниченная указанными линиями

, , и .

Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх.

Найдемкоординаты вершины параболы:

, отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

.

Ответ:

Задания для практической работы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.

2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .

6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

Контрольные вопросы:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Рекомендуемая литература: 1.1 [с. 271-281], 1.2 [с. 205-212], 1.3 [с.395-395], 2.2 [с. 247-250].

Практическая работа №17

Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение

(неявная форма) (17.1)

или

(явная форма) (17.2)

определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных

или , (17.3)

Областью определения, которой является множество точек трехмерного пространства .

При уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных

или . (17.4)

Частным значением функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений . (17.5)

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

1) ; 2) .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .

Задание 2: Найти частное значение функции в точке .

Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .

Задания для практической работы

1. На плоскости постройте область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Вычислите частные значения функций:

1) при и ;

2) в точке ;

3) при и .

4. Дана функция . Вычислите , , , , , , .

Контрольные вопросы:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции переменных?

3. Что называется частным значением функции двух переменных?

4. Что называется границей области?

5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 438-439], 2.1 [с. 192-204], 2.2 [с. 151-166].

Практическая работа №18