Свойства показательной функции

Свойства показательной функции	y = a x, a > 1	y = a x, 0< a < 1
Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, a x >1	при x > 0, 0< a x < 1
при x < 0, 0< a x < 1	при x < 0, a x >1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось O x является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

 

 

3) Ln x

Графиком функции y = ln x является экспонента, у которой в точке х = 1 угол между касательной и осью абсцисс равен 45º.

Не следует путать с функцией у = е^х, у которой: а) касательная под углом 45º пересекает ось абсцисс в точке х = 0; б) экспонента выпукла вниз.

В отличие от функции у = е^х, экспонента функции y = ln x выпукла вверх.

График функции y = ln x симметричен графику функции у = е^х относительно прямой у = х.

Свойства функции y = ln x:

1) Областью определения являются все положительные числа: D(f) = (0; +∞). 2) Область значений функции – все числа от –∞ до +∞: E(f) = (–∞; +∞) 3) Функция ни четная, ни нечетная. 4) Возрастает на промежутке (0; +∞). 5) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 6) Не имеет наибольшего и наименьшего значений. 7) Непрерывна. 8) Выпукла вверх. 9) Дифференцируема.

 

 

4) Sin x

а) Область определения: D (sin x) = R.

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:
;

.

з) Экстремумы:
; .

График функции y = sin x изображен на рисунке.

 

 

5) Cos x

а) Область определения: D (cos x) = R.

б) Множество значений: E (cos x) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

. ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y = cos x изображен на рисунке.

 

 

6) Tg x

а) Область определения: D (tg x) = R \ { /2 + n (n Z) }.

б) Множество значений: E (tg x) = R.

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

 

 

7) Ctg x

а) Область определения: D (ctg x) = R \ { n (n Z) }.

б) Множество значений: E (ctg x) = R.

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства;
; .

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

 

 

 

8) Arcsin x

9) Arccos x

Арксинус, arcsin

Арксинус (y = arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x = sin y). Он имеет область определения и множество значений.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом, на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y). Он имеет область определения и множество значений.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом, на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x