Численный метод вычисления криволинейного интеграла второго рода

 

Явное задание кривой интегрирования. Пусть кривая АВ (L) задана уравнением у = у (х), х [ a, b ], при этом абсциссы точек А и В соответственно равны a и b. Предположим, что необходимо вычислить (приближенно) величину интеграла второго рода

 

+ Q (x, y) dy

 

от известных функций Р (x, y) и Q (x, y)

по кривой у = у (х) от точки А до точки В.

 

Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных

отрезков длины Δ х = (рис.3). В этом

случае каждая конечная точка такого час-

тичного отрезка легко вычисляется по

формуле: x_i = а + i * Δ х (i = 1, 2, …, n).

Приращения функции у = у (х) на каждом

из частичных отрезков: Δ у_i = у (x_i) – у (x_{i -1}).

В точке x_i ^* = (i = 1, 2, …, n) – Рис.3.

середине каждого частичного отрезка – вычислим значения функции у = у (х): у_i ^* = у (x_i ^*).

 

Замечание 1. Середина первого частичного отрезка: x ₁^* = а + . Срединные точки последующих отрезков: x_i ^* = x ^* _{i -1} + Δ х (i = 2, 3, …, n).

Замечание 2. Значения функции у = f (х) можно вычислять не только в середине частичных отрезков, но и в других удобных для вычисления точках, например, начальных (x ₁^* = а) или конечных (x ₁^* = Δ х) точках этих отрезков. В любом случае x_i ^* = x ^* _{i -1} + Δ х (i = 2, 3, …, n).

 

Дальнейшая схема вычисления криволинейного интеграла второго рода имеет вид:

+ Q (x, y) dy = + Q (x, y) dy, (7)

где

+ Q (x, y) dy ≈ Р (x_i ^*, у_i ^*) Δ х + Q (x_i ^*, у_i ^*) Δ у_i. (8)

 

При параметрическом задании кривой интегрирования x = x (t), y = y (t), где

t [ a, β ], алгоритм приближенного вычисления криволинейного интеграла второго рода мало чем отличается от приведенного выше. Отличие лишь в том, что на равные частичные отрезки разбивается отрезок [ a, β ], а приращения функций Δ х_i и Δ у_i на i -ом частичном отрезке вычисляется по формулам

Δ х_i = x (t_i) – x (t_{i -1}), Δ у_i = у (t_i) – у (t_{i -1}),

 

где t_i – точки разбиения отрезка [ a, β ] (i = 1, 2, …, n).

Значения x_i ^* и у_i ^* в формуле (8) – это значения функций x = x (t), y = y (t) в срединной точке t_i ^* i -го частичного отрезка: x_i ^* = x (t_i ^*), у_i ^*= y (t_i ^*).

 

Численный метод вычисления криволинейного интеграла первого рода

 

При явном и параметрическом задании кривой интегрирования алгоритм вычисления криволинейного интеграла первого рода практически остается таким же, как и в случае соответствующего интеграла второго рода, за исключением оператора суммирования интегральной суммы

= ,

где

≈ f (x_i ^*, у_i ^*) Δ s_i , Δ s_i = (см. рис.3). (9)

 

При явном задании кривой интегрирования, очевидно, что величина Δ х_i постоянна (в соответствии с алгоритмом): Δ х_i = Δ х = (i = 1, 2, …, n).

При задании кривой интегрирования в полярных координатах разбиению подлежит угол φ = β – a на угловые интервалы длины Δ φ = . В этом случае каждая конечная точка такого частичного интервала легко вычисляется по формуле: φ_i = a + i * Δ φ (i = 0, 1, 2, …, n).

Приращения функции r = r (φ) на каждом из частичных интервалов: Δ r_i = r (φ _i) – r (φ _{i -1}). В точке φ _i ^* = (i = 1, 2, …, n) – середине каждого углового частичного интервала –

вычислим значения функции r = r (φ):

r _i ^* = r (φ _i ^*). Тогда

= ,

где

≈ f (r_i ^*, φ_i ^*) Δ s_i.

Рис.4.

Здесь Δ s_i = – аппроксимация длины дуги кривой L

| М_{i -1} М_i | = Δ l_i: r _i ^* * Δ φ – длина дуги C_{i -1} C_i окружности радиуса r _i ^*, опирающейся на угол Δ φ, приблизительно равная длине отрезка М_{i -1} N_i; Δ r_i – приращение функции r = r (φ) на i - ом частичном интервале (рис.4). Из почти прямоугольного треугольника М_{i -1} М_i N_i получаем выражение для Δ s_i ≈ | М_{i -1} М_i | = Δ l_i.