Обработка и оценка экспериментальных данных.

В результате многофакторного эксперимента получают значения отклика y_u в N точках факторного пространства. Для повышения точности экспериментальных данных отклик во многих случаях измеряется несколько раз: ставятся параллельные опыты.

Обработка экспериментальных данных в теории планирования эксперимента в значительной мере формализована, проходит с помощью ЭВМ. Обработка делится на различные этапы, содержащие часто операции условного перехода, допускающие переход к последующему этапу при выполнении некоторого условия. Если условие не выполняется, то вычисления прекращаются, и делаются необходимые изменения в планировании эксперимента. Характер изменений и направление дальнейших действий определяет экспериментатор. Рассмотрим отдельные этапы и возможные варианты неформализованных решений [1].

Для проведения регрессионного анализа примем следующие допущения:

1. Входной параметр x измеряется с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y. Большая ошибка y объясняется наличием в каждом процессе не выявленных переменных, не вошедших в уравнение регрессии.

2. Результаты наблюдений над выходной величиной y₁, y₂, …, y_N представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

3. При проведении эксперимента с объемом выборки N при условии, что каждый опыт повторен m_i раз, i=1, 2,…,N выборочные дисперсии должны быть однородны.

Для исключения явно аномальных, грубых погрешностей, которые могут значительно исказить результаты, в отдельных строках проводится проверка однородности значений y_u. Для этого используют критерий Стьюдента [3]:

,

где - наименьшее или наибольшее значение отклика в u -той строке, которое полагают ошибочным; - среднее значение отклика в u -той строке, вычисленной без учета значения , - оценка среднего квадратичного отклонения.

.

где - число опытов без одного, в котором .

где - оценка дисперсии в u -той точке плана без учета сомнительного результата .

По таблице распределения критерия Стьюдента (приложение 2) находим значение критерия t _т при числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Если , то значение согласуется с данными всей первой строчки и участвует в дальнейших расчетах.

Однородность дисперсий при одинаковом числе степеней свободы проверяют по критерию Кохрена, а при разном – по критерию Бартлета. Определенная по параллельным опытам дисперсия воспроизводимости необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии и проверки адекватности уравнения эксперименту.

Критерий Кохрена:

- максимальная дисперсия; - сумма всех дисперсий.

Полученное отношение сравнивается с табличным: G_1-p(f₁, f₂), где уровень значимости p=0.05; f₁=m-1; m – количество параллельных опытов; f₂=N. Если G< G_1-p(f₁, f₂), то дисперсии однородны.

Тогда в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости можно взять среднюю дисперсию:

с числом степеней свободы

Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента:

где - j -тый коэффициент уравнения регрессии; - среднее квадратичное отклонение j -того коэффициента.

Если t_j больше t_p(f) для выбранного уровня значимости p и числа степеней свободы , то коэффициент значимо отличается от нуля; определяется по закону накопления ошибок:

Если выборочные дисперсии однородны, получим

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:

где - дисперсия адекватности; - дисперсия воспроизводимости; F – критериальное значение.

Если критериальное значение F окажется меньше табличного значения F_1-p(f₁, f₂) для уровня значимости p и чисел степеней свободы f₁=f_ад и f₂=f_воспр, уравнение адекватно эксперименту.

В общем случае (если каждый опыт повторен m_i раз) и вычисляются следующим образом [1].

- сумма квадратов адекватности;

- число степеней свободы дисперсии адекватности;

l – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии;

SS_воспр – сумма квадратов, связанная с дисперсией воспроизводимости вычисляется следующим образом:

Дисперсия воспроизводимости равна:

- число степеней свободы дисперсии воспроизводимости:

m_i – параллельные опыты.

Следовательно, дисперсия воспроизводимости вычисляется как:

Рассмотрим формулу вычисления остаточной дисперсии , применяемую при проведении при отсутствии параллельных опытов.

SS_ост – остаточная сума квадратов:

Число степеней свободы остаточной дисперсии определяется по формуле:

Остаточная дисперсия :

 

Для одинакового числа опытов m₁=m₂=…=m_i=…=m_n=m вычисления упрощаются.