Главные линии плоскости - горизонталь и фронталь

Горизонталь плоскости.

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 17а,б)).Построение горизонтали начинают с фронтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все горизонтали плоскости параллельны между собой.

а) б)

Рис.17

Фронталь плоскости.

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 18а, б). Построение фронтали всегда начинают с горизонтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все фронтали плоскости параллельны между собой.

а) б)

Рис. 18

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Проведем в плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми а и в, любую прямую n. Затем через точку К построим прямую m║ n (рис. 19). У параллельных прямых параллельны одноименные проекции.

Рис. 19

Теорема о проекциях прямого угла

Помимо позиционных задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, в практике приходится решать задачи на определение расстояний, углов и истинных величин плоских фигур. Такие задачи называются метрическими задачами. При их решении необходимо знать условие перпендикулярности прямых и плоскостей. Для этого надо выяснить свойство ортогональной проекции прямого угла.

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 20).

Рис. 20

На рис. 21 показаны скрещивающиеся прямые, перпендикулярные друг другу.

Рис. 21

Перпендикулярность прямой и плоскости

Из геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 22).

 

Рис. 22

Если прямые а и в будут прямыми общего положения, то прямой угол к ним ни на одной плоскости проекций не спроецируется в натуральную величину. Согласно теореме о проецировании прямого угла, прямой угол спроецируется в натуральную величину на плоскость проекций, если одна сторона прямого угла будет параллельной этой плоскости проекций. Поэтому, в качестве прямых надо взять горизонталь h и фронталь f. Тогда прямой угол между перпендикуляром n и h спроецируется в натуральную величину на П₁, а прямой угол между n и f - на П₂. На рис. 23 в точке К, принадлежащей плоскости α(а║b), построен перпендикуляр n к плоскости.

Рис. 23

Применение дополнительного ортогонального проецирования

Для решения задач

Пример. Найти длину отрезка АВ.

Чтобы найти длину отрезка занимающего в пространстве общее положение относительно плоскостей П₁ и П_2, надо построить дополнительную ортогональную проекцию отрезка АВ на плоскость П₄ ему параллельную (П₄║АВ) и П₄^П₁ (рис. 24).

Рис.24

Поэтапное решение задачи на эпюре показано на рис. 25

Рис. 25

Пример 2. Построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α и к плоскости П_1.

Из геометрии известно, что две плоскости взаимноперпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. В данном примере перпендикуляром к плоскости П₄ является горизонталь h (рис. 26).

 

Рис. 26

Исходя из этого, ось х₁₄ проведена перпендикулярно горизонтальной проекции h₁ горизонтали h плоскости ΔАВС (рис. 27).По отношению к плоскости П₄ плоскость ΔАВС является проецирующей и изображается на ней в виде прямой А₄ В₄ С_4.

 

Рис. 27

Пример3. Построить дополнительную ортогональную проекцию прямой общего на плоскость ей перпендикулярную.

Для этого надо сначала построить дополнительную ортогональную проекцию прямой АВ на плоскость ей параллельную (П₄║АВ) и П₄┴П₁.Ось х₁₄ построена параллельно А₁ В₁. Затем построить дополнительную ортогональную проекцию прямой АВ на плоскость П₅ ей перпендикулярную(П₅┴ АВ) и П₅┴ П₄ (рис. 28).Ось х₄₅ построена перпендикулярно А₄ В₄._.На плоскости П₅ прямая будет точкой.

Рис. 28

Рещение задачи на эпюре показано на рис. 29

Рис. 29

Пример 4.Определить размеры треугольника АВС.

Чтобы найти величину ΔАВС,являющегося плоскостью общего положения,надо построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость ему параллельную. Для этого надо сначала построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α(ΔАВС) и к плоскости П₁ (см.пример2).А затем построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость П₅ ему параллельную(П_5║ ΔАВС) и П₅┴ П₄ (рис.30а).Решение задачи на эпюре показано на рис.30б.

Рис. 30а Рис.30б