Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

1.1. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису, ее невырожденность.

1.2. Повторение основных понятий, терминов и методов решений, связанных с линейными системами

(совместность, несовместность, эквивалентные системы, элементарные преобразования, однородные и неоднородные системы, вырожденные и невырожденные системы, правило Крамера, матричный метод, метод Гаусса).

1.3. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли). Условия единственности и не единственности решения.

Однородные и неоднородная системы линейных уравнений.

2.1. Однородная система линейных уравнений, ее совместность.

2.2. Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы (множество всех решений - линейное пространство). Базис (фундаментальная система решений) и размерность пространства решений линейной однородной системы.

2.3. Неоднородная система линейных уравнений, соответствующая ей однородная система. Теорема о структуре совместной линейной неоднородной системы.

Отображения множеств. Линейные операторы и их матрицы.

3.1. Отображения множеств. Образ и прообраз. Однозначное и взаимно однозначное отображения, примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Линейное отображение множеств.

3.2. Линейный оператор, его свойства, примеры линейных операторов.

3.3. Матричная запись действия линейного оператора в заданном базисе. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.

Действия с линейными операторами.

4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.

4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его матрицы.

4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

5.1. Определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, их геометрический смысл. Главные направления линейного оператора. Нахождение собственных векторов и собственных значений на примере оператора зеркального отражения векторов от заданной плоскости .

5.2. Линейная независимость собственных векторов с различными собственными значениями.

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Инвариантность характеристического многочлена и определителя матрицы линейного оператора.

6.2. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы с характеристической матрицей.

Евклидово пространство.

11.1. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств.

11.2. Неравенство Коши-Буняковского.

11.3. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

11.4. Неравенство треугольника.

Матрица Грама.

12.1. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения в заданном базисе. Матрица Грама и ее свойства. Примеры матриц Грама.

12.2. Преобразование матрицы Грама при переходе к новому базису.

12.3. Нахождение матрицы Грама скалярного произведения в базисе пространства геометрических векторов в случае, когда скалярное произведение в каноническом (ортонормированном) базисе этого пространства задается стандартным образом.

Ортонормированный базис.

13.1. Ортогональная система векторов, ее линейная независимость.

13.2. Ортогональный и ортонормированный базисы. Матрица Грама, запись скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Теорема Пифагора в произвольном и ортонормированном базисах евклидова пространства.

13.3. Метод ортогонализации базиса.

Литература

Основная.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Дополнительная.

1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

3. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.

4. Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и линейной геометрии.

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ (2 СЕМЕСТР)

 

Евклидово пространство.

Нахождение матрицы Грама. Определение с ее помощью длин и углов в евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации базиса.

Линейные пространства. Замена базиса. Линейные системы. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

1.1. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису, ее невырожденность.

1.2. Повторение основных понятий, терминов и методов решений, связанных с линейными системами

(совместность, несовместность, эквивалентные системы, элементарные преобразования, однородные и неоднородные системы, вырожденные и невырожденные системы, правило Крамера, матричный метод, метод Гаусса).

1.3. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли). Условия единственности и не единственности решения.