Глава 3. Электричество и магнетизм

Глава 3. Электричество и магнетизм

Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Теорема Остроградского-Гаусса

· Закон Кулона

,

где - сила взаимодействия двух точечных зарядов и ; - расстояние между зарядами; - диэлектрическая проницаемость среды; - электрическая постоянная.

· Напряженность электрического поля ,

где - сила, действующая на точечный положительный пробный заряд , помещенный в данную точку поля.

· Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхность , помещенную в неоднородное поле,

,

где - угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности; - площадь элемента поверхности; - проекция вектора напряженности на нормаль.

· Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

,

где - поток вектора напряженности через замкнутую поверхность ; - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; - число зарядов.

· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии от заряда .

· Напряженность электрического поля, создаваемого сферой, равномерно заряженной по поверхности:

1) внутри сферы () ;

2) на поверхности сферы () ;

3) вне сферы () .

· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинным равномерно заряженным по поверхности стержнем ,

где - линейная плотность заряда, равная заряду, приходящемуся на единицу длины стержня.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечной, равномерно заряженной плоскостью

,

где - поверхностная плотность заряда, равная заряду, приходящемуся на единицу поверхности.

 

Потенциал электрического поля.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле.

Свойства диэлектриков

· Произведение заряда диполя на его плечо называется электрическим моментом диполя (дипольным моментом): .

· Напряженность поля диполя ,

где - модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя до исследуемой точки; - угол между радиусом-вектором и плечом диполя.

· Потенциал поля диполя .

· Механический момент, действующий на диполь, помещенный в однородное электрическое поле или , где - угол между направлениями векторов и .

· Поляризованность диэлектрика ,

где - дипольный момент -й молекулы, - число молекул, содержащихся в объеме .

· Связь поляризованности и поверхностной плотности поляризационных зарядов .

· Связь поляризованности с напряженностью поля в диэлектрике , где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

· Связь диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости : .

· Напряженность поля в диэлектрике или , где - напряженность внешнего поля.

· Связь поверхностной плотности поляризационных зарядов и поверхностной плотности свободных зарядов :

.

· Вектор электрического смещения ; для однородного изотропного диэлектрика справедливо соотношение .

· Теорема Остроградского-Гаусса для поля в диэлектрике

,

где и - соответственно суммарный свободный и связанный заряды, охватываемые замкнутой поверхностью .

 

Энергия электрического поля

· Электрическая емкость уединенного проводника (конденсатора)

, где - заряд, сообщенный проводнику (конденсатору), - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

· Электрическая емкость плоского конденсатора .

· Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом в среде с диэлектрической проницаемостью

.

· Электрическая емкость сферического конденсатора

.

· Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

,

где - длина конденсатора.

· Энергия заряженного проводника .

· Энергия заряженного конденсатора ,

где - разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

 

Электромагнитная индукция.

Энергия магнитного поля

 

· Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

,

где - изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; - сила тока в контуре.

· Основной закон электромагнитной индукции , где - электродвижущая сила индукции; - число витков контура; - сила тока в контуре.

· Разность потенциалов на концах проводника длиной , движущегося со скоростью в однородном магнитном поле

.

· Электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке, содержащей витков, площадью , при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией

.

· ЭДС самоиндукции , где - индуктивность контура.

· Индуктивность соленоида , где - число витков на единицу длины; - объем соленоида.

· Ток замыкания в цепи с индуктивностью и активным сопротивлением

,

где - ЭДС источника.

· Ток после размыкания цепи , где - сила тока в цепи при .

· Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре с индуктивностью

.

· Объемная плотность энергии магнитного поля

.

 

Магнитные свойства вещества

· Намагниченность диэлектрика .

· Связь намагниченности в изотропном магнетике с напряженностью поля , где - магнитная восприимчивость.

· Связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости : .

· Связь магнитной индукции, напряженности и намагниченности магнетика

.

Система уравнений Максвелла

1. . 2. .

3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

Глава 4. Колебания

Гармонические колебания

· Уравнение гармонических колебаний

,

где - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; - время; , , - соответственно амплитуда, угловая частота и начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в момент времени .

· Угловая частота колебаний или , где и - частота и период колебаний.

· Скорость точки, совершающей гармонические колебания

.

· Ускорение гармонических колебаний

.

· Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты:

- амплитуда результирующего колебания

,

где и - амплитуды составляющих колебаний; и - их начальные фазы.

- начальная фаза результирующего колебания

.

· Уравнение траектории точки при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний с амплитудами и и начальными фазами и

.

· Дифференциальное уравнение колебаний материальной точки

,

где - собственная частота колебательной системы.

· Полная энергия механических гармонических колебаний .

· Полная энергия электромагнитных колебаний .

· Периоды колебаний гармонических колебательных систем:

- пружинный маятник: , где - коэффициент жесткости пружины; - масса тела;

- математический маятник: , где - длина нити маятника;

- физический маятник: , где - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний;

- электромагнитный колебательный контур: , где и - соответственно индуктивность и емкость контура.

 

Затухающие колебания

· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

,

где - для механических колебаний, где - коэффициент сопротивления;

- для электромагнитных колебаний, где - активное сопротивление контура.

· Уравнение затухающих колебаний , где .

· Угловая частота затухающих колебаний .

· Характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации ;

2) логарифмический декремент затухания , где и - амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих друг от друга по времени на период ;

3) добротность колебательной системы

или ,

где - энергия системы; - убыль энергии системы за период;

- число колебаний за время релаксации.

· Добротность колебательных систем:

- пружинный маятник: ;

- электромагнитный колебательный контур: .

 

Вынужденные колебания

· Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

,

где , - амплитудное значение силы и круговая частота внешнего воздействия.

· Частное решение дифференциального уравнения вынужденных механических колебаний .

· Амплитуда вынужденных механических колебаний

.

· Фаза вынужденных механических колебаний

.

· Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

,

где , - амплитудное значение ЭДС и круговая частота внешнего источника.

· Частное решение дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний ,

где или .

· Амплитуда вынужденных механических колебаний

.

· Фаза вынужденных механических колебаний

.

· Амплитудное значение тока при вынужденных электромагнитных колебаниях

,

где - полное колебание контура.

· Резонансная частота вынужденных колебаний .

· Резонансная амплитуда вынужденных механических колебаний

.

 

Глава 5. Волны

Волновые процессы

· Волновое уравнение для плоской бегущей гармонической волны, распространяющейся вдоль оси х:

,

· Уравнение плоской бегущей гармонической волны

,

где - смещение точек среды с координатой в момент времени ; - угловая частота; - волновое число; ; - скорость распространения волны в среде (фазовая скорость); - длина волны; ; и - период и частота колебаний.

· Уравнение сферической волны

,

где определяется свойствами источника; - расстояние от источника до точки наблюдения.

· Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно : .

 

Упругие волны

 

· Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

- в твердых телах , где - модуль Юга; - плотность вещества;

- в газах или , где - показатель степени адиабаты; - универсальная газовая постоянная; - термодинамическая температура; -молярная масса; -давление газа.

· Объемная плотность кинетической энергии в упругой волне

.

· Объемная плотность потенциальной энергии в упругой волне

.

· Объемная плотность полной энергии

или .

· Среднее за период значение объемной плотности энергии

или .

· Вектор плотности потока энергии (вектор Умова)

,

где - вектор скорости волны.

· Интенсивность звука , где - скорость звука в среде.

· Связь групповой и фазовой скорости

.

· Акустический эффект Доплера

,

где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; - частота звука, воспринимаемого приемником; - скорость звука в среде; - скорость приемника относительно среды; - скорость источника относительно среды.

 

Электромагнитные волны

· Волновые уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей плоской бегущей гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси х:

,

,

где и - напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне; - фазовая скорость электромагнитной волны в среде с показателем преломления : ; - скорость света в вакууме; .

· Уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей в плоской бегущей гармонической электромагнитной волне

,

.

· Связь напряженностей электрического и магнитного полей в плоской бегущей гармонической электромагнитной волне

.

· Объемная плотность энергии электромагнитного поля

или

.

приемника относительно среды; - скорость источника относительно среды.

· Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля

,

где - вектор скорости волны.

· Интенсивность электромагнитной волны .

· Эффект Доплера для электромагнитных волн: если источник, испускающий волну частотой , движется со скоростью под углом к направлению на наблюдателя, то воспринимаемая частота равна

.

 

Глава 6. Волновые явления

Интерференция волн

· Оптический путь световой волны

,

где - геометрический путь световой волны в среде с показателем преломления .

· Оптическая разность хода двух световых волн

.

· Связь разности фаз с оптической разностью хода

,

где - длина волны в вакууме.

· Длина когерентности световой волны в вакууме

.

· Радиус когерентности волны, создаваемой протяженным источником на расстоянии от него

,

где - линейный размер источника в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

· Условия максимумов и минимумов интерференции двух волн, распространяющихся в одном направлении

- условие максимума ;

- условие минимума .

· Условия максимумов и минимумов интерференции световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластины толщины :

- условие максимума

,

- условие минимума

,

где - угол преломления; - номер максимума или минимума.

В проходящем свете условия максимумов и минимумов интерференции обратны условиям в отраженном свете (меняются местами).

· Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

,

где - радиус кривизны линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной стеклянной пластинкой.

Радиусы темных колец в отраженном свете (или светлых в проходящем)

.

 

Дифракция волн

Поляризация световых волн

· Закон Брюстера

,

где - угол падения, при котором отраженная световая волна полностью поляризована, - показатель преломления второй среды относительно первой для данной длины волны.

· Закон Малюса

,

где - интенсивность плоско поляризованного света, прошедшего через совершенный анализатор, - интенсивность плоско поляризованного света, падающего на совершенный анализатор, - угол между плоскостями совершенных поляризатора и анализатора.

· Степень поляризации света

,

где и - соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого совершенным анализатором.

· Степень поляризации преломленной волны при отражении света от диэлектрика

,

где - интенсивность световых колебаний в волне, совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения света, - интенсивность световых колебаний в волне, совершающихся в направлении, перпендикулярном плоскости падения света.

 

Глава 3. Электричество и магнетизм