Метод подстановки (замена переменной)

Цели

Знать:

v таблицу дифференциалов от основных элементарных функций;

v таблицу интегралов от основных элементарных функций;

v основные приёмы метода подведения под дифференциал.

Уметь:

v Находить интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подведения под дифференциал.

 

Если интеграл непосредственно не берётся, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели.

Пусть требуется найти , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим

. (9)

 

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу, однако после приобретённого навыка вы скоро научитесь этому. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

• Если под знаком интеграла стоит сложная функция , как правило, используется подстановка .
• Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции , т.е. выражение , то имеет смысл попробовать подстановку . Поэтому целесообразно запомнить таблицу дифференциалов.

 

• Правило поправочного коэффициента

 

, (a, b — const). (10)

 

 

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для нахождения интеграла следует:

1. переписать интеграл в виде ;
2. заменить , что приводит к равенству ;
3. вычислить последний интеграл;
4. в полученном ответе произвести обратную замену t = .

№2. Найти интегралы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) , 7) .

►1) = = = = =

= ;

Здесь и далее при записи решений примеров все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.

2) = = =

= =3 х -ln| x +2|+ C;

Замечание. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть.

Проверка. ;

3) = = = = t + C = ;

4) = = = = ;

5) = = = = ;

6) = = =ln t + C =ln| x ²+ x +1|+ C;

7) = = = = =

= = t -arctg t = .◄

 

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№64. . Ответ: .

№65. . Ответ: .

№66. . Ответ: .

№67. . Ответ: .

№68. . Ответ: .

№69. . Ответ: .

№70. . Ответ: .

№71. . Ответ: .

№72. . Ответ: .

№73. . Ответ: ln| x ²+5 x -6|.

№74. . Ответ: .

№75. . Ответ: .

№76. . Ответ: sin(ln x).

№77. . Ответ: .

№78. . Ответ: .

№79. . Ответ: ln|2+ln x |.

№80. .

Указание. Подстановка х ³= t. Ответ: .

№81. . Ответ: .

№82. . Ответ: .

№83. . Ответ: x -ln|e ^x +1|.

 

Домашнее задание

Найти интегралы:

№84. . Ответ: .

№85. . Ответ: .

№86. . Ответ: .

№87. . Ответ: -ln |arccos x |.

№88. . Ответ: .

№89. . Ответ: .

№90. . Ответ: .

№91. . Ответ: .

№92. . Ответ: .

№93. . Ответ: .

№94. . Ответ: .

№95. . Ответ: .

№96. . Ответ: .

№97. .

Указание. Выделить . Ответ: .

№98. . Ответ: .

№ 99. . Ответ: .

№100. . Ответ: .

№101. .

Указание. . Ответ: .

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: .

№104. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№105. . Ответ: .

№106. . Ответ: .

№107. . Ответ: .

№108. . Ответ: x -5ln| x +3|.

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№111. . Ответ: .

№112. . Ответ: .

№113. . Ответ: .

№114. . Ответ: .

№115. . Ответ: .

№116. . Ответ: .

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. . Ответ: .

№120. . Ответ: .

№121. . Ответ: .

№122. . Ответ: .

№123. . Ответ: .

№124. . Ответ: .

№125. . Ответ: .

№126. . Ответ: .

№127. . Ответ: .

№128. . Ответ: .

№129. . Ответ: .

№130. . Ответ: .

№131. . Ответ: .

№132. . Ответ: .

№133. .

Ответ: .

№134. .

Ответ: .

№135. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

 

Примерный вариан решения

индивидуального задания

Найти неопределённые интегралы:

№1. .

► = =

= =

= .◄

№2. .

► = = .◄

№3. .

► = .◄

№4. .

► = .◄

№5. .

► = = =

= .◄

№6. .

► = = = =

= .◄

№7. .

► = = .◄

№8. .

► = .◄

№9. .

► = = = =

= .◄

№10. .

► = = =

= = .◄

№11. .

► = = =

= = .◄

№12. .

► = = =

= = = .◄

№13. .

► = = = =

= .◄

№14. .

► = + = =

= = =

= .◄

№15. .

► = - = =

= = =

= .◄

№16. .

► = = = =

= .◄

 

Занятие 3

Интегрирование по частям

Цели

Знать:

v Суть метода интегрирования по частям;

v основные типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям;

Уметь:

v Применять метод интегрирования по частям при нахождении интегралов.

 

Пусть u и v — две функции аргумента х, имеющие производные и . Тогда справедлива формула:

. (11)

 

При нахождении интегралов методом интегрирования по частям удобно пользоваться таблицей 1 выбора функции u=u (x).

Таблица 1

Таблица выбора функции u=u (x)

вид интеграла	u
; ; .	u = P (x)
; ; ; ; .	u =
возвратные ; ; .	u = или u = . .

 

Постановка задачи. Найти неопределённый интеграл .

План решения. Пусть v (x) имеет очевидную первообразную V (x), а u (x) — дифференцируемая функция, причём её производная является более простой функцией, чем u (x).

1. Выбрать u (x), dv, используя таблицу выбора функции u (x);
2. Найти du; v;
3. Применить формулу (11).

· В некоторых случаях для сведения данного интеграла к одной из формул простейших интегралов формула (11) применяется несколько раз.

• Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям (возвратные интегралы);

1. Записать ответ.

 

№3. Найти интегралы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

►1) = = =

= ;

2) = =

= = ;

3) = =

= .

Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям

= =

= = .

Следовательно,

= ;

4) = =

= .

Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям:

=

= .

Подставив это выражение в последнее равенство, имеем:

по условию это выражение равно , т.е.

= .

Разрешим данное выражение относительно интеграла (как неизвестного):

, следовательно,

.◄

 

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№136. . Ответ: sin x - x cos x.

№137. . Ответ: .

№138. . Ответ: .

№139. . Ответ: .

№140. . Ответ: .

№141. . Ответ: .

№142. . Ответ: x tg x +ln|cos x |.

№143. . Ответ: .

№144. .

Указание. Подстановка t =ln x.

Ответ: .

№145. . Ответ: .

№146. . Ответ: .

№147. .

Ответ: .

 

Домашнее задание

Найти интегралы:

№148. . Ответ: x (ln x -1).

№149. . Ответ: .

№150. . Ответ: .

№151. . Ответ: .

№152. . Ответ: x ² sin x +2 x cos x -2sin x.

№153. . Ответ: .

№154. .

Ответ: .

№155. . Ответ: .

№156. .

Ответ: .

№157. . Ответ: .

№158. . Ответ: .

№159. .

Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№160. . Ответ: .

№161. . Ответ: ln x (ln ln x -1).

№162. .

Ответ: .

№163. . Ответ: .

№164. .

Указание. Учесть, что =

= = = .

Ответ: .

№165. . Ответ: .

№166. . Ответ: .

№167. . Ответ: .

№168. . Ответ: .

Используя метод интегрирования по частям, доказать, что

№169. .

№170. .

 

Примерный вариант решения

индивидуального домашнего задания

Найти интегралы:

№27. .

► = =

= = .◄

№28. .

► = = =

= .◄

№29. .

► = =

= =

= .◄

№30. .

► = =

= =

= = =

= =

= .◄

№31. .

► =

= =

= =

= .◄

Занятие 4