Интегрирование тригонометрических функций

Знать:

v Основные тригонометрические формулы;

v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.

Уметь:

v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.

 

Использование тригонометрических преобразований

Интегралы вида:

; ; , (16)

где , находятся с помощью формул:

;

;

.

Интегралы вида:

, (17)

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки

= ; .

На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.

• если функция R (sin x;cos x) нечётна относительно sin x, т.е. R (-sin x;cos x)=- R (sin x; cos x), то следует применить подстановку

t =cos x; dt = -sin xdx; , .

• если функция R (sin x;cos x) нечётна относительно cos x, т.е. R (sin x;-cos x)=- R (sin x; cos x), то следует применить подстановку

t =sin x; dt =cos x dx; .

• если функция R (sin x;cos x) чётна относительно sin x и cos x, т.е. R (-sin x;-cos x)= R (sin x;cos x), то следует применить подстановку

t =tg x; ;

, .

Интегралы вида:

, (18)

1. где k, n — хотя бы одно число нечётное

отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;

2. где k, n — чётные положительные

применить формулы понижения степени:

; ; ;

3. где k, n — нечётные положительные

отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;

4. где n — целое положительное число

применить подстановку t =sin x;

5. где k — целое положительное нечётное число

применить подстановку t =cos x;

6. где n+k — чётное отрицательное целое число

применить подстановку t =tg x;

7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное

применить подстановку t = tg x или t = ctg x.

Интегралы вида:

, , (19)

если n =1, то

;

,

если n >1, воспользоваться формулами:

; ,

позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.

 

№6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) .

►1) = =

= = ;

2) = = =

= =

= =

= ;

3) = =

= = =

= = =

= ;

4) = = =

= = = ;

5) = = =

= = = =

= = = =

= +С;

6) = = = =

= = , (.◄

 

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№248. . Ответ: .

№249. . Ответ: .

№250. . Ответ: .

№251. . Ответ: .

№252. . Ответ: .

№253. . Ответ: .

№254. . Ответ: .

№255. . Ответ: .

№256. . Ответ: .

№257. . Ответ: .

№258. . Ответ: .

№259. . Ответ: .

№260. .

Указание. Замена сos x =t.

Ответ: .

№261. .

Указание. Замена sin x = t.

Ответ: .

 

Домашнее задание

Найти интегралы:

№262. . Ответ: .

№263. . Ответ: .

№264. . Ответ: .

№265. . Ответ: .

№266. . Ответ: .

№267. . Ответ: tg x – x.

№268. . Ответ: .

№269. . Ответ: .

№270. . Ответ: .

№271. . Ответ: .

№272. . Ответ: .

№273. . Ответ: .

№274. . Ответ: .

№275. . Ответ: .

№276. . Ответ: .

№277. . Ответ: .

№278. . Ответ: .

№279. . Ответ: .

№280. . Ответ: .

 

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№281. . Ответ: .

№282. . Ответ: .

№283. . Ответ: .

№284. .

Ответ: .

№285. . Ответ: .

№286. .

Ответ: .

№287. .

Ответ: .

№288. . Ответ: .

№289. .

Указание. Замена t =ctg x. Ответ: .

№290. . Ответ: .

№291. . Ответ: .

№292. . Ответ: , где t =tg x.

№293. . Ответ: ln|tg x |.

№294. . Ответ: .

№295. .

Указание. Замена ctg x = t.

Ответ: .

№296. . Ответ: ln|sin x |-sin x.

№297. .

Ответ: .

Примерный вариан решения

индивидуального домашнего задания

Найти интегралы:

№18. .

► = =

= =

= =

= .◄

№19. .

► = =

= = =

= . ◄

№20. .

► = =

= = .◄

№38. .

► = =

= = = =

= .◄

№39. .

► = =

= = = =

= .◄

№40.

► = =

= = = =

= = =

= .◄

 

Занятие 7

Интегрирование некоторых иррациональностей

Цели

Знать:

v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.

Уметь:

v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;

v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;

v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.

 

Интегралы вида:

(20)

называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.

 

Постановка задачи. Найти интеграл .

План решения.

Для нахождения интеграла следует:

1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду .

2. Если числитель не зависит от х, т.е. М =0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул

[11]

или

[12].

3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку , при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.

 

Интегралы вида

, (21)

где R — рациональная функция; p, q,…, s, t — целые числа, находятся с помощью постановки

,

где m — наименьшее общее кратное чисел q,…, t.

Частные случаи:

1) если в интеграле (21) с =0, то он будет иметь вид

, (22)

где ;

2) если b = c =0, a = d =1, то интеграл (21) примет вид

. (23)

Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки

или .

К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

(24)

подстановкой

x = a sin t; dx = a cos t dt

или

x = a cos t; dx =- a sin t dt

(25)

подстановкой

x = a tg t;

или

x = a ctg t;

(26)

подстановкой

;

или

Интегралы вида:

(27)

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:

, , .

Интеграл от дифференциального бинома

(28),

где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или — является целым.

Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:

1) когда р — целое число,

подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;

2) когда — целое число,

подстановкой , где s — знаменатель дроби p;

3) когда — целое число,

подстановкой , где s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

Интеграл вида:

(29)

можно найти подстановкой .

 

№ 7. Найти интегралы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) .

►1) = =

= = = =

= = ;

2) = = = =

= = ;

3) = = =

= = =

= ;

4) = = =

= = = ;

5) = = =

= = = =

= .

Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и , следовательно

= ;

6) Это интеграл от дифференциального бинома.

= =

= =

= =

= = = = =

= ;

7) = = =

= = .

Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1< x <1, вследствие чего х -1<0 и t<0 и поэтому| t |=- t.

= = ;

8) = = =

= = =

= = =

= .

Получили возвратный интеграл. Следовательно, имеем:

= ;

;

;

Учитывая, что t = x -1, получаем

.◄

Аудиторное занятие

№298. . Ответ: .

№299. .

Ответ: .

№300. . Ответ: .

№301. .

Ответ: .

№302. . Ответ: .

№303. . Ответ: .

№304. .

Ответ: .

 

Домашнее задание

№305. .

Ответ: .

№306. . Ответ: .

№307. .

Ответ: .

№308. . Ответ: .

№309. .

Ответ: .

№310. . Ответ: .

№311. . Ответ: .

№312. . Ответ: .

№313. . Ответ: .

№314. .

Ответ: .

№315. . Ответ: .

№316. . Ответ: .

№317. . Ответ: .

№318. .

Ответ: .

№319. .

Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№320. . Ответ: .

№321. . Ответ: .

№322. .

Ответ: .

№323. . Ответ: .

№324. .

Ответ: .

№325. . Ответ: .

№326. .

Ответ: .

№327. . Ответ: .

№328. . Ответ: .

№329. . Ответ: .

№330. . Ответ: .

№331. . Ответ: .

№332. . Ответ: .

№333. .

Ответ: .

№334. .

Ответ: .

№335. .

Ответ: .

№336. . Ответ: .

№337. . Ответ: .

№338. .

Указание. Замена .

Ответ: .

№339. .

Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.

Ответ: .

№340. .

Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.

Ответ: .

Примерный вариан решения

индивидуального домашнего задания

Найти интегралы:

№25. .

► = =

= = =

= = =32 t -8sin 4 t + C =

= =

= .◄

№26. .

► = =

= = = =

= = .◄

№36. .

► = =

= = =

= =

= .◄

№37. .

► = =

= = =

= =

= =

◄

 

Занятие 8

Обзорное

 

Цели

v Знать и уметь применять основные приёмы интегрирования.

 

Найти интегралы:

№341. . Ответ: .

№342. . Ответ: .

№343. . Ответ: .

№344. . Ответ: .

№345. .

Ответ: .

№346. . Ответ: .

№347. . Ответ: .

№348. . Ответ: .

№349. .

Ответ: .

№350. . Ответ: .

№351. . Ответ: .

№352. . Ответ: .

№353. . Ответ: .

№354. . Ответ: .

№355. . Ответ: .

№356. . Ответ: .

№357. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .

№358. . Ответ: .

№359. . Ответ: .

№360. . Ответ: .

 

Примерный вариант контрольной работы

 

Вариант 1

Найти интегралы:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

Вариант 2

Найти интегралы:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .

Контрольные вопросы

 

1. Первообразная и её свойства

1. Может ли функция иметь единственную первообразную на некотором промежутке?
2. Пусть y = F ₁(x), y = F ₂(x) — первообразные функции y = f (x) на некотором промежутке. Какой вид имеет график функции y = F ₁ - F ₂?
3. Может ли функция, график которой изображён на рисунке, являться первообразной некоторой функции?

1. Будет ли функция являться первообразной для функции на про