Лекция 1.Число. Переменная. Функция

Лекция 1.Число. Переменная. Функция

Действительные числа. Числовая прямая

Напомним основные понятия, связанные с понятием действительного числа.

Натуральные числа – это целые положительные числа.

N – множество всех натуральных чисел:

N = {1, 2, 3,...}.

Z – множество всех целых чисел:

Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}.

Рациональными числами называются числа вида , где m – целое, n – натуральное.

Q – множество всех рациональных чисел: , если , . Очевидно, что N Ì Z Ì Q.

Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Таковы, например, , , число p. Обычно множество всех иррациональных чисел обозначают через I. Очевидно, множества I и Q не имеют общих элементов.

Множество Q всех рациональных чисел и множество I всех иррациональных чисел образуют множество R всех действительных чисел:

R = Q È I.

Геометрически множество всех действительных чисел изображается в виде числовой прямой (или числовой оси). Числовая прямая – это прямая, на которой выбраны: начало отсчета, положительное направление и масштаб (единичный отрезок).

Между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е.

Каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой – одно определенное число. Поэтому понятия «число x» и «точка x» равнозначны.

Перечислим простейшие числовые множества на прямой. Пусть a и b – два числа, причем .

Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству , называется отрезком или сегментом [ a, b ].

Множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству , называется интервалом (a, b).

Полуинтервалы [ a, b) и (a, b ] определяются как множества чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам и .

Аналогично определяются бесконечные интервалы и полуинтервалы , , , . При этом вся числовая прямая есть .

В дальнейшем для всех перечисленных множеств мы будем также применять общий термин «промежуток».

Модуль действительного числа

Модулем, или абсолютной величиной действительного числа x называется само число x, если x неотрицательно, и противоположное число, т.е. – x, если x отрицательно:

Очевидно, по определению, .

Известны следующие свойства абсолютных величин:

.

Модуль разности двух чисел есть расстояние между точками x и a на числовой прямой (при любых x и a).

Из этого следует, что, в частности, решениями неравенства (где ) являются все точки x интервала , т.е. числа, удовлетворяющие неравенству .

Такой интервал называется e -окрестностью точки . Заметим, что вообще окрестностью точки a называется всякий интервал, содержащий точку a.

Предел функции

Функция представляет собой переменную величину, и поэтому к ней применимо понятия предела, следует лишь указать предел, к которому стремится ее аргумент.

Сформулируем строгое определение предела функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, точки a.

 

Определение 1. Число b называется пределом функции при x, стремящемся к a, если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству

,

выполняется неравенство

.

Если b есть предел при , то пишут

,

или при .

Дадим геометрическую иллюстрацию определения предела:

для всех точек точки графика функции лежат внутри полосы, ограниченной прямыми и (рис. 11).

Рис. 11

Замечание. Если при и при этом , то говорим, что стремится к b слева, и пишем . Аналогично определяется предел справа: , если стремится к b, когда x стремится к a, оставаясь больше a. В частности, если стремится к b при справа (соответственно слева), то пишем (соответственно ).

Данное выше определение предела относилось к случаю, когда x стремится к конечному пределу а. Рассмотрим теперь случай .

 

Определение 2. Число b есть предел функции при , если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

.

В этом случае пишем .

Если переменная величина является последовательностью, т.е. все ее значения можно занумеровать натуральными числами

 

, ,..., ,...,

 

то ее можно рассматривать как функцию натурального аргумента:

 

, .

 

Определение 2 можно рассматривать, в частности, и как определение предела последовательности (если считать, что аргумент x принимает лишь целые положительные значения).

2.2. Бесконечно малые величины. Связь переменной
величины с ее пределом. Свойства бесконечно малых

Определение. Переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.

 

В частности, функция есть бесконечно малая при (или при ), если (соответственно, ).

Теорема. Число b есть предел переменной y тогда и только тогда, когда

 

(1) ,

 

где a – бесконечно малая.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть . Пусть задано . Тогда для всех значений y, начиная с некоторого, будет . Обозначим . Очевидно, для всех значений a, начиная с некоторого, будет , следовательно, a – бесконечно малая. Итак,

,

где a – бесконечно малая.

2. Достаточность. Из равенства (1) следует . Пусть задано . Так как a – бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет , следовательно, для всех значений y, начиная с некоторого, будет . А это значит, что .

Теорема доказана.

 

Перечислим свойства бесконечно малых величин.

1. Если a – бесконечно малая и не обращается в нуль, то стремится к бесконечности.

Заметим, что переменная величина, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой. Поэтому сформулированное выше свойство можно переформулировать так: величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина.

2. Алгебраическая сумма двух (трех и вообще конечного числа) бесконечно малых величин есть бесконечно малая.

Иначе говоря, если , где a, b – бесконечно малые, то и u – бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть величина бесконечно малая.

(Т. е. если a – бесконечно малая, z – ограниченная, то есть бесконечно малая.)

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Следствие 2. Если a – бесконечно малая, , то – бесконечно малая.

4. Если a– бесконечно малая, а переменная величина z имеет предел, отличный от нуля, то есть величина бесконечно малая.

Следует заметить, что сформулированные свойства 1–4 являются, по существу, теоремами и в более подробном курсе математики излагаются с доказательствами. Здесь мы докажем одно из них, например свойство 3.

Пусть a– бесконечно малая, z – ограниченная величина, . Надо доказать, что – бесконечно малая. Пусть задано . Возьмем . Так как a– бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет , т.е. . Тогда , т.е. . Доказательство закончено.

2.3. Предел суммы, произведения, частного.
Предельный переход в неравенствах

Мы будем рассматривать предел функций , при или при .

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов:

.

(Вообще .)

2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:

.

(Вообще .)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

 

(если ).

 

Утверждения 1–3 также являются теоремами. Их доказательства основаны на теореме о связи переменной величины с ее пределом.

Приведем в качестве примера доказательство утверждения 2.

Пусть , . Надо доказать, что . Имеем: , , где , – бесконечно малые.

.

Обозначим . В соответствии со свойствами бесконечно малых a есть бесконечно малая. Так как , где a – бесконечно малая, то . Доказательство закончено.

Можно доказать также следующие утверждения.

4. Если переменная y неотрицательна, то ее предел неотрицателен: если , то .

5. Если для переменных u и v выполняется неравенство , то .

6. Если для переменных u, z и v выполняются неравенства и при этом u и v стремятся к одному пределу b (), то переменная z стремится к тому же пределу: .

7. Достаточный признак существования предела: если переменная величина v возрастает и ограничена, т.е. , то эта переменная величина имеет предел:

, где .

Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей ограниченной величины.

Замечательные пределы

1. Предел функции при равен 1:

. (1)

Рассмотрим примеры применения формулы (1).

Пример 1.

.

Пример 2.

.

2. Предел переменной величины при .

Теорема. Переменная величина при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство этой теоремы основано на достаточном признаке существования предела, сформулированном выше.

Определение. Предел переменной величины при называется числом е:

.

Заметим, что число e – иррациональное число

е = 2,7182818284...

(Обычно в вычислениях полагают .)

Можно доказать, что

. (3)

(В формуле (2) переменная является последовательностью, в формуле (3) переменная является функцией.)

Сделав в формуле (3) замену , получаем

. (4)

Примеры:

1)

;

2) ;

3)

;

4)

.

Число е играет очень важную роль в математике и ее приложениях.

Показательная функция с основанием е:

называется экспонентной.

Логарифмы с основанием е называют натуральными логарифмами и обозначают , т.е. вместо пишут . Очевидно, если , то .

Непрерывность функций

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и если

.

С геометрической точки зрения непрерывная функция – это функция, график которой есть непрерывная кривая. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности.

Обозначим разность через . Будем говорить, что при переходе от значения к значению x аргумент получает приращение *. При этом функция y получает соответствующее приращение . С учетом сказанного, равенство (1) принимает вид:

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если

. (2)

(Это определение легко запоминается в следующей форме: «функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции».)

Пример. Покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, придадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение

.

Если , то (так как ); при этом – ограничена. Поэтому

.

Следовательно, функция непрерывна.

Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Справедливы следующие теоремы:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма также непрерывна в этой точке.

2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.

3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль (т.е. если и непрерывны в точке и , то непрерывна в точке ).

4. Если непрерывна при и непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательства этих утверждений основаны на свойствах пределов.

На этих утверждениях* основана следующая теорема.

 

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

Если функция не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции . Различают точки разрыва первого рода, когда существуют конечные пределы и , но ¹ , и второго рода, когда хотя бы один из пределов слева и справа бесконечен или не существует. Среди точек разрыва первого рода следует отметить также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен .

Примеры:

1) . Здесь – точка разрыва первого рода, так как предел при слева равен , а предел при справа равен ;

2) . Здесь – точка разрыва второго рода;

3) Здесь – точка устранимого разрыва, так как существует .

Определение 3. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.

Решение задач

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

здесь теорема о пределе частного неприменима: и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Предел находят путем разложения числителя и знаменателя на множители:

.

(Здесь мы сократили дробь на множитель , который хотя и является бесконечно малой величиной при , но все же отличен от нуля: , но .)

5) ;

делим числитель и знаменатель на и учитываем, что :

;

6) ;

7) ;

умножим числитель и знаменатель на :

;

8)

;

9)

;

10) ;

11) ;

12)

;

13)

;

Можно иначе:

.

Лекция 3. Основы дифференциального
исчисления

Производная

Пусть функция определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала X. Тогда функция получит соответствующее приращение .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует):

 

.

 

Производная имеет несколько обозначений: , , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий по какой переменной взята производная, например, .

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке. В этом случае также является функцией от аргумента x, определенной на этом промежутке.

Мгновенная скорость

Пусть функция описывает закон движения материальной точки по прямой (как зависимость пути s от времени t). Тогда за промежуток времени пройденный путь равен . Отношение есть средняя скорость за время . А тогда

есть мгновенная скорость в момент времени t. Итак, мгновенная скорость есть производная пути по времени.

Пример. Пусть x – количество вещества, образовавшегося при химической реакции к моменту времени t. Очевидно, x есть функция времени: . Если t получает приращение , то x получает соответствующее приращение . Тогда отношение представляет собой среднюю скорость химической реакции за время с момента t до момента , а предел этого отношения при , т.е. – скорость химической реакции в момент t.

Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть дифференцируема в данной точке, т.е. существует предел

.

Тогда , где a – бесконечно малая. Отсюда

.

Пусть . Тогда

.

Итак, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. функция непрерывна.

Теорема доказана.

Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может не иметь производной в этой точке.

Правила дифференцирования

Пусть , – дифференцируемые функции, c – константа. Тогда:

I. (постоянный множитель выносится за знак производной).

II. (производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных).

III. .

IV. .

V. Если , , то

.

Докажем в качестве примера правило III.

1. Дадим x приращение . Тогда функции u и v получают значения , , а функция – значение .

2. Найдем приращение функции

3. Состав отношение :

.

4. Вычислим предел при :

.

Итак, .

Таблица производных

1. .

2. .

3. .

.

4. .

.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Схему доказательства формулы 2 мы рассмотрели ранее. Докажем еще в качестве примера формулы 5 и 7.

Пусть . Придадим x приращение . Получаем

=

.

Составим отношение

 

.

 

Перейдем к пределу при :

 

Пусть . Применим правило дифференцирования дроби:

Приведем теперь примеры вычисления производных с применением формул и правил дифференцирования.

1)

;

 

2)

;

 

3)

;

4)

5)

;

 

6)

Дифференциал

Пусть функция имеет в некоторой точке x производную .

В соответствии с определением производной

Отсюда

,

где a – бесконечно малая при . Выразим :

.

Если , то в правой части этого равенства первое слагаемое при малых более важно, чем второе*. Это первое слагаемое (уже независимо от того, будет ли ) называют дифференциалом. Сформулируем понятие дифференциала более точно.

Определение. Дифференциалом функции