Производные и дифференциалы высших порядков

Производная функции , очевидно, зависит от x, т.е. есть также функция аргумента x и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от , т.е. производная от производной, называется второй производной и обозначается :

.

Часто вместо применяют символ :

.

Аналогично определяется третья производная, или производная третьего порядка – как производная от второй производной: и т.д. Таким образом, производная n -го порядка определяется как производная от производной (n – 1)-го порядка:

.

Рассмотрим примеры:

1) .

, ;

2) .

,

;

3) .

, ,

,..., ;

4) .

, ,

,..., .

Аналогичным образом определяются дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков:

, ,...

Можно показать, что

, ,....

Лекция 4. Применение производных
в исследовании функций

4.1. Основные теоремы дифференциального
исчисления

1. Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке . Тогда если в точке существует производная этой функции, она равна нулю:

.

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда функция имеет в точке наибольшее значение (для наименьшего значения доказательство аналогично). В этом случае для всех выполняется неравенство , что означает

для любой точки .

Если , то

. (1)

Если , то

. (2)

Но из условия теоремы производная в точке существует, тогда, переходя к пределу при , получаем

при ,

при .

Но соотношения , совместимы лишь в том случае, если .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая функция в точке принимает наибольшее (наименьшее) значение, то касательная к графику этой функции в точке параллельна оси Ox (см. рис. 1).

 

Рис. 1

2. Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим трем условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения: .

Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю:

.

Доказательство. Известно (см. п. 2.5), что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию 3) они равны: , т.е. есть константа. В этом случае производная равна нулю во всех точках отрезка.

Если же , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, в некоторой точке . Тогда по теореме Ферма .

Доказательство закончено.

3. Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда внутри отрезка существует такая точка , что справедлива формула

. (3)

Доказательство. Возьмем вспомогательную функцию

. (4)

Эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке (так как непрерывна), она дифференцируема на :

, (5)

кроме того, принимает на концах отрезка одинаковые значения: . Следовательно, по теореме Ролля существует такая точка , что . Но тогда (см. (5))

,

т.е. справедливо равенство (3). Теорема доказана.

Заметим, что из (3) непосредственно следует равенство

. (6)

Эта формула (6) называется формулой Лагранжа.

Рассмотрим пример применения формулы Лагранжа.

Пусть . Что больше: или ?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим . Имеем . В соответствии с формулой (6) при , :

.

Но , следовательно, .

4. Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на , причем . Тогда существует такая точка , что справедлива формула

. (7)

Доказательство этой теоремы приводить не будем.

Заметим, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши при .

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида «», если

. (8)

Можно доказать, что в этом случае (т.е. при условии (8)) верна формула

. (9)

Формула (9) дает правило вычисления пределов при условии (8). Это правило называется правилом Лопиталя.

(Заметим, что вычисление при называют раскрытием неопределенности вида «».)

Рассмотрим на примерах применение правила Лопиталя:

1) ;

2) ;

3) .

(Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя.)

Будем называть отношение при неопределенностью вида «», если

. (10)

Для раскрытия неопределенностей «» также применимо правило Лопиталя, т.е. при условии (10) применяется формула

.

Это правило применяется также и при .

Примеры:

1) ;

2) .

Заметим, что неопределенности других видов: «», «», «» и т.д.* можно свести к неопределенностям «» или «» и затем раскрыть по правилу Лопиталя.