IV. Использование геометрического смысла модуля при решении уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

 

При решении простейших неравенств, уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, можно использовать геометрический смысл модуля.

Абсолютную величину (модуль) действительного числа х, т.е. |x|, можно геометрически истолковать, как расстояние от точки, изображающей число х, до начала отсчета; |x - а| означает расстояние между точками х и а на числовой прямой.

Например, если |x| = 3, то на числовой оси имеются только две точки которые удалены от начала отсчёта 0 на расстояние, равное трем.

-3 0 3

х

Примеры:

1. Решите уравнение: |x - 1| = 3.

Уравнению удовлетворяют такие точки х, расстояние которых от 1 на числовой прямой равно трём.

-2 1 4

х

Это точки -2 и 4.

Ответ: .

(Вариант-23 №6 2005г.)

 

2. Решите уравнение: |2x - 3| = 5. разделим обе части уравнения на 2:

|x – 1,5| = 2,5

От точки 1,5 отложим влево и вправо 2,5 единицы, получим точки 4 и – 1.

-1 1,5 4

х

Ответ: .

3. Решите неравенство: |х - 3| < 1.

Геометрический способ решения.

Неравенству удовлетворяют такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 1. От точки 3 отложим влево и вправо единицу, получим две точки: 2 и 4.

2 3 4

х

Точки, расстояние до которых от точки 3 меньше единицы, находятся внутри интервала (2;4). 2 и 4 в решение не входят, т.к. неравенство строгое. Поэтому, решением будет интервал (2;4).

Ответ: х (2; 4)

4. Решите неравенство: |2х + 3| < 5.

Разделим обе части неравенства на 2: < или |x – (- )| < .

От точки - откладываем влево и вправо. Получаем точки -4 и 1.

-4 -3/2 1

х

И таким образом получаем решение (-4; 1).

Ответ: (-4; 1).

5. Решите неравенство: |2х - 3| > 7.

Разделим обе части неравенства на 2: |x – 1,5| > 3,5

От точки 1,5 отложим влево и вправо 3,5 единиц. Получаем точки -2 и 5. точки, удалённые от 1,5 на расстояние, большее 3,5 единицам, расположены левее -2 и правее 5. Поэтому, решением неравенства будет объединение интервалов . Т.к. неравенство строгое, -2 и 5 не принадлежат данным промежуткам.

-2 1,5 5

х

Ответ: .

Геометрический способ решения можно применить при решении следующих заданий:

 

1. Решите уравнение: |2x - 3| = 6.

А) (- ).

В) (-4.5; 4.5).

С) (-4.5; 1.5).

D) (- ).

Е) (-1.5; 4.5).

(Вариант-18 №20 2005г.)

 

2. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x - 3| < 5.

 

(Вариант-16 №20 2005г.)

 

3. Решите уравнение: |2x - 3| = 1.

 

А) {2; -1}.

В) {-2; -1}.

С) {2; 1}.

D) {-2; 1}.

Е) {-3; 1}.

 

(Вариант-3 №12 2005г.)

 

4. Решите неравенство: |3х - 1| .

А) -1\3 .

В) -3 .

С) все ответы неверны.

D) -1 .

Е) -1\2 .

(Вариант-34 №18 2007г.)

 

5. Определите верное решение неравенства: |x - 1|

А) [4; 6].

В) (- ; 4].

С) [-6; 4].

D) (- ; -4].

Е) [-4; 6].

(Вариант-23 №8 2007г.)

 

6. Определите верное решение неравенства: |x + 2|

А) [0; + ).

В) (- ; 0) ).

С) [-4; 0].

D) (- ; -4].

Е) [- ; -4]

(Вариант-22 №8 2007г.)

 

7. Определите верное решение неравенства: |1 + 2x| > 1.

А) (0;1).

В) (- ; -1) ).

С) (- ; 0) ).

D) (-1; + ).

Е) (-1; 0)

(Вариант-16 №19 2007г.)

 

8. Решите неравенство: |х| 1.

А) (1; + ).

В) (- ; -1).

С) (0; + ).

D) (-1; 1).

Е) (- ; -1] [1; + ).

(Вариант-5 №7 2007г.)

 

9. Определите верный промежуток-решение неравенства: |3 + x|

(Вариант-14 №7 2004г.)

 

10. Решите уравнение: |x - 1| =3.

A) {4; -2}.

B) {-1; 4}.

C) {2; -4}.

D) {-4; 3}.

E) {0; -3}.

(Вариант-17 №4 2004г.)

 

11. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x - 3| < 5.

(Вариант-23 №8 2004г.)

 

12. Решите систему уравнений:

А) (0; 5),(-2;8).

В) (-1; 3), (7; -1).

С) (-1; -3), (-5; 1).

D) (1; -3), (-5; -1).

Е) (-1; 0) (5; 0).

(Вариант-11 №25 2006г.)

 

13. Решите неравенство: 2|х - 1| .

А) [-8; 9].

В) (- .

С) [-7; 9].

D) (- .

Е) [9; + .

(Вариант-19 №4 2003г.)

 

14. Решите неравенство: |х| <3.

А) (3; + ).

В) (- ; -3) .

С) (-3; 3).

D) (-3; 3].

Е) (- ; 3).

(Вариант-21 №4 2003г.)

Коды правильных ответов

E

C

C

A

E

E

B

E

E

A

E

B

C

C