VI Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Применять рациональные приемы решения задач на прогрессию, как показывает практика, могут учащиеся в том случае, если они:

· отчетливо понимают введенную при изучении последовательностей символику: член последовательности, сумма n первых ее членов;

· знают не только формулы, выражающие n-ный член арифметической прогрессии через и d и b и q для геометрической прогрессии, но и характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии, а также формулу ;

· большое значение имеет использование свойств членов конечных прогрессий, равноудаленных от концов:

для арифметической прогрессии;

для геометрической прогрессии.

 

Например:

1. В арифметической прогрессии , а произведение . Найти прогрессию.

В данной прогрессии 10 членов, значит .

; .

Систему можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета.

Получаем: и .

Условию задачи удовлетворяет две прогрессии:

а) 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.

б) 23,21,19,17,15,13,11,9,7,5.

2. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 28. Найти и d.

Решение этой задачи окажется более простым, если воспользоваться свойством суммы членов, равноотстоящих от концов, для прогрессии, составленной из пяти членов:

; тогда .

Систему можно решить устно:

.

Зная и , находим d: , d = 3 и d = -3.

Ответ: 2; 14; 3; -3;

 

3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна15. Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4, 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.

Решение:

По условию , так как , то 2 , , . Тогда , .

По условию , , .

Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, имеем: :

81 = (6 – d) (24 + d), d + 18d – 63 = 0, d = 3, d = -21.

Тогда или .

Ответ: 2; 5; 8; и 26; 5; -16.

Если известна сумма трех членов, задачи можно решать таким способом:

Например:

1. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, если .

Решение: в данной прогрессии 14 членов, значит а₁+а₁₄=а₆+а₉. S₁₄= , S₁₄=140.

А) 140.

В) 120.

С) 110.

D) 130.

Е) 100.

(Вариант-21 №23 2002г.)

 

2. В геометрической прогрессии пять положительных членов, первый из которых 1,5, а последний 24. Найдите знаменатель и их сумму.

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-4 №22 2002г.)

3. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.

А) 120.

В) 240.

С) 360.

D) 100.

Е) 210.

(Вариант-34 №29 2003г.)

4. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых десяти членов этой арифметической прогрессии.

А) 14.

В) 63.

С) 126.

D) 56.

Е) 64.

(Вариант-28 №29 2003г.)

5. В арифметической прогрессии Найдите и .

А) d = 3.6; = -5.7.

В) d = 1.4; = 3.1.

С) d = 1.6; = 2.3.

D) d = 1.2; = 3.1.

Е) d = 1.2; = 3.9.

(Вариант-19 №12 2004г.)

 

6. Числа a, b, c составляют арифметическую прогрессию с разностью d = 4. Найдите числа a, b, c, если a, b, c + 8 последовательные члены геометрической прогрессии.

А) a = 5, b = 9, c = 13.

В) a = 3, b = 7, c = 11.

С) a = 2, b = 6, c = 10.

D) a = 1, b = 5, c = 9.

Е) a = 6, b = 10, c = 14.

(Вариант-27 №12 2004г.)

 

7. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b = 25, b = 16.

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-30 №12 2004г.)

 

8. Найдите значения х, при которых числа х – 4, , х – 6 образуют арифметическую прогрессию.

А) 5.

В) 4.

С) -7.

D) 3.

Е) 7.

(Вариант-11 №12 2004г.)

 

9. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b = 27, b = 3.

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-10 №12 2004г.)

 

10. Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель прогрессии.

А) 2.

В) 2 - .

С) 2 + .

D) 2 + .

Е) 2 - .

(Вариант-33 №30 2005г.)

 

11. Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14. Найдите сумму первых девяти членов этой арифметической прогрессии.

А) 126.

В) 14.

С) 56.

D) 63.

Е) 64.

(Вариант-22 №6 2005г.)

 

12. В арифметической прогрессии . Найдите и d.

А) d = 2; = -6.

В) d = 3; = 6.

С) d = 2; = 6.

D) d = -6; = 3.

Е) d = 6; = 3.

(Вариант-3 №18 2006г.)

Коды правильных ответов

A	C	A	B	E	C	B	E	D	C	D	B