Основы вариационного исчисления - II

Основы вариационного исчисления - II

 

Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

 

 

Издательство

Пермского государственного технического университета

Составитель: В.В. Малыгина

УДК 517 (075.8)

О75

 

 

Рецензент:

канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова

 

 

Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.

 

Данное методическое пособие является продолжением пособия «Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».

УДК 517 (075.8)

 

© ГОУ ВПО

«Пермский государственный

технический университет», 2008

Вариационные задачи с подвижными границами

 

В предыдущих лекциях при исследовании функционала

 

 

предполагалось, что граничные точки и заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качестве примера задачу навигации.

Задача навигации

В этой задаче рассматривается река ширины с прямыми параллельными берегами. Считая один берег реки совпадающим с осью , введем скорость течения реки . Лодка с постоянной скоростью

( – величина скорости, ), за кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки (рис.1).

Обозначим через угол, который образует вектор скорости лодки с положительным направлением оси . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени определяется равенствами

 

, .

Отсюда

,

 

что позволяет выразить через :

 

,

откуда

.

 

Для времени пересечения реки находим

 

.

 

Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции при условии .

Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой . Мы приходим, таким образом, к задаче со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.

Решение задачи навигации

Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя полученный выше результат.

Итак, нам следует найти минимум функционала

 

 

при условии , а может принимать любое значение.

Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция

 

 

зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выполняться условие . Отсюда сразу следует, что вышеприведенный первый интеграл имеет вид: . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

 

,

 

для которого легко найти решение. Находя явное выражение для , получаем . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует выбрать знак плюс. Учитывая, что , получаем окончательно:

 

.

 

В частности, если , то искомый маршрут наибыстрейшей переправы реализуется на прямой .

 

Изопериметрическая задача

Интересный класс задач на условный экстремум образуют так называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.

Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых с фиксированными концами , функционал

 

 

достигает своего минимального (максимального) значения, причем интегралы

 

 

обладают заранее заданными значениями . Функции и считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче на условный экстремум с функциональными условиями связи.

Обозначим

 

.

 

Тогда

 

 

– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:

 

.

 

Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию

 

,

 

для которой система уравнений Эйлера имеет вид:

 

.

 

Но так как , то , а тогда

 

.

 

Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции Лагранжа можно взять функцию

 

 

с постоянными множителями . Далее для функции , как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение задачи.

Пример 9. Найти экстремум функционала

 

 

на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям , и дополнительному условию .

 

Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию , для которой составим уравнение Эйлера: . Так как знак неизвестен, решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев: , и .

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

.

 

Подставляя граничные условия, находим , то есть . Но это решение не удовлетворяет условию , следовательно, при решений у задачи нет.

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

,

 

из граничных условий снова получаем , а , то есть при задача также не имеет решений.

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

,

 

подставляя граничные условия, находим , – любое число, . Следовательно, , где . Определим через изопериметрическое условие:

 

.

 

Получаем , то есть . Так как , то можно оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:

 

.

Примеры решения некоторых вариационных задач

В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.

Задача Дидоны

Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.

Рассмотрим множество функций , определенных на отрезке , таких, что при всех , а (рис. 3). Вместе с отрезком график каждой функции ограничивает площадь, задаваемую функционалом

 

.

 

Потребуем дополнительно, чтобы кривые имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:

 

.

 

Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.

Выстраиваем вспомогательную функцию и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция не зависит от переменной , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл

,

 

представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:

 

.

Учитывая граничные условия, находим, что , а . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси , и . Для определения параметра , то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.

 

.

 

Уравнение эквивалентно уравнению где , , . Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии , следовательно, , а тогда уравнение всегда имеет на отрезке единственный корень (рис. 4).

Отсюда находим радиус искомой окружности и координаты ее центра: .

Задача о брахистохроне

Предположим, что точки и лежат в плоскости с осью , направленной вниз (рис.5). Положим и и пусть – уравнение дуги, соединяющей точки и так, что , , , . Скорость движения вдоль кривой пусть равна . Тогда время спуска равно

.

 

Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:

 

,

 

где — начальная скорость движения частицы. Тогда

 

,

 

и задача свелась к выбору функции , для которой интеграл

 

 

достигает наименьшего значения из всех возможных.

Так как функция зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:

 

.

 

Разрешая это уравнение относительно , находим

 

,

 

где мы положили . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:

.

 

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой

 

. Тогда

.

 

Мы пришли к решению в параметрической форме

 

 

Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных и позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина не является произвольной постоянной.

Список рекомендуемой литературы

 

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.

2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.

3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

 

Варианты заданий

Задание 5

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.

 

1. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

2. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

3. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

4. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

 

5. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

 

6. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

7. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

8. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

9. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

 

10. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

 

11. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

12. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

13. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

14. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

 

15. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

 

16. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

17. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

18. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

 

20. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

 

21. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

22. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

23. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

24. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

 

25. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

 

26. ,

– сектор круга: , .

Граничные условия: , , где – произвольная непрерывная на отрезке функция.

 

27. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

 

28. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

29. ,

– квадрат: .

Граничные условия: .

 

30. ,

– сектор кольца: , – непрерывная на отрезке функция.

Граничные условия: .

Задание 6

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.

 

1. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

2. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

3. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

4. ,

– шар: .

Граничные условия: .

 

5. ,

– шар: .

Граничные условия: .

 

6. ,

– шар: .

Граничные условия: .

 

7. ,

– шар: .

Граничные условия: .

 

8. ,

– шар: .

Граничные условия: .

 

9. ,

– круг: .

Граничные условия: .

 

10. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

 

11. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

12. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

13. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

 

14. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

 

15. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

16. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

17. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

 

18. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

 

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

 

20. ,

– квадрат: .

Граничные условия: ,