Раздел 1. Виды, методы и задачи испытаний технических изделий

ВВЕДЕНИЕ

Испытания играют очень большую роль в обеспечении необходимого уровня качества изделий на всех стадиях и этапах их жизненного цикла. Особо важную роль испытания играют на стадиях проектирования и серийного производства.

Процесс проектирования боеприпасов (БП) представляет собой сложный интерактивный процесс, состоящий из ряда последовательных этапов. На каждом этапе проектирования одновременно с теоретическими исследованиями и расчетами проводятся разнообразные экспериментальные исследования, то есть испытания.

В процессе проектирования БП должна быть решена задача его оптимального синтеза, то есть должен быть проведен выбор параметров его отдельных элементов таким образом, чтобы все изделие в целом обладало бы заданным качеством.

Сложность математического описания функционирования элементов и всего БП в целом, нестационарность и нелинейность процессов функционирования, случайный характер этих процессов и возмущений, воздействующих на БП, обуславливают существенную сложность задачи и не позволяют создать точную математическую модель и строгого метода оптимального синтеза БП. Поэтому в процессе проектирования решение задачи синтеза распадается на ряд последовательных этапов с характерным для каждого этапа циклом – теория, расчет, эксперимент, анализ.

Расчеты показателей качества на этапе проектирования дают лишь ориентировочное представление о них. Объективное суждение о фактически достигнутом качестве складывается только по результатам испытаний натурных образцов в условиях, близких к реальным.

Испытания не являются каким-то изолированным процессом, а неразрывно связаны с процессом проектирования и являются одной из основных его фаз. Испытания в процессе проектирования выступают в качестве обратных связей на каждом из этапов проектирования БП (рисунок 1).

ТТЗ

Изготовление опытной партии

Испытания элементов

Испытания составных частей и БП

Испытания БП

Изготовление установочной партии

Эскизное проектирование

Техническое проектирование

 

Рисунок 1.

Каждый раз после проведения испытаний осуществляется анализ их результатов, и уточняются математические модели функционирования составных частей и БП в целом, вносятся соответствующие изменения в их схемы и конструкцию. Такую процедуру в технической литературе часто называют опытной отработкой образца.

По мере усложнения БП и повышения предъявляемых к ним тактико-технических требований роль испытаний в процессе проектирования становится все более значительной. Это приводит к тому, что стоимость испытаний по отношению ко всем затратам на проектирование и изготовление БП неуклонно возрастает.

Приведенные соображения свидетельствуют о том, что основным фактором, определяющим стоимость и, что самое главное, сроки разработки проектируемых БП, являются испытания. Поэтому задача сокращения сроков разработки и стоимости, проектируемых БП в основном сводится к задаче оптимального планирования испытаний, т.е. к задаче определения оптимального объема, содержания и последовательности испытаний.

 

 

Раздел 1. Виды, методы и задачи испытаний технических изделий

Z- статистика

Двусторонняя КО

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

; .

:

Н_о принимается

Односторонняя КО

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

:

Н_о отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким.

OKO: ;

ДКО: , .

 

T- статистика

В силу четности f(x) табулируется не F(t), а функция

Пример:

Для ДКО: ; ;

Для ЛКО: ;

Для ПКО: ;

Т.к.

Для сравнения:

- интеграл ошибок (erf(z)) или функция Лапласа

Ф(-z) = -Ф(z)

Ф

F(z) =

При альтернативе критическая область будет двусторонней:

Значение критических точек определяется из уравнений:

;

;

.

где есть функции Лапласа

;

.

При альтернативе критическая область будет правосторонней и точка определится из уравнения:

,

.

Соответственно для имеем левостороннюю область и

Пример

Но принята	Но отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким, чем двусторонний.

Если дисперсия известна, то используют статистику

,

где - статистическая дисперсия:

Известно: , где v = n-1

Функция квавантилей для t –распределения рассчитана (затабулирована) на основе зависимости:

,

где

Поэтому:

и

Пример

v = 24

Но принимается

Но отклоняется

 

Сравнение средних двух совокупностей

Пусть имеются две выборки объемом соответственно. Предполагается, что они получены из одной и той же генеральной совокупности. В результате обработки опытных данных получены оценки средних и . Требуется проверить гипотезу . Решение зависит от имеющихся сведений о дисперсиях. Рассмотрим возможные варианты.

Первый вариант: дисперсии выборок известны и равны друг другу, а так же Рассмотрим разность . Это случайная величина. Определим ее МОЖ и дисперсию, полагая, что гипотеза верна:

Выберем в качестве статистики величину

; D [

Если верна, то M [ ], и D [ , т.е. и поэтому дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Второй вариант: выборки малы (), неизвестны, то можно полагать (есть основания) .

Тогда определяют общую (двух выборок) статистическую дисперсию

где – статистические дисперсии выборок.

На роль статистики принимают величину

которая подчиняется t - распределению с числом степеней свободы v= .

Дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Третий вариант: неизвестны и нет оснований полагать их равными, т.е. . Имеем проблему Беренса-Фишера.

 

Пример

;	n =25
;

Вывод: Чем выше уровень доверительной вероятности, тем шире доверительный интервал!

Аналогичным образом можно определить доверительный интервал для дисперсии, если . Для этого достаточно воспользоваться V-статистикой, имеющей -распределение с ν = n-1 степенями свободы. Как известно, эта статистика имеет вид:

,

откуда

Как видно из рисунка, закон распределения статистики V в отличие от закона распределения статистики T не является симметричным. Поэтому возникает вопрос: как выбрать интервал , в который величина V = попадает с вероятностью ?

Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рисунке) были одинаковы и равны

.

Чтобы построить интервал с таким свойством надо воспользоваться таблицей, в которой приведены числа такие, что

.

Зафиксировав ν = n-1, находят по таблице два значения :

Одно , отвечающие вероятности , и другое , отвечающее вероятности . Очевидно, что интервал имеет своим левым, а - правым концом.

Теперь по интервалу найдем искомый интервал для неизвестной дисперсии с границами и , который накрывает точку D с вероятностью :

Для этого убедимся в равносильности неравенств:

,

Откуда:

и

Пример:

n =13 ν = 12

 

Если интегрировать слева направо:

 

Корреляционным анализом называется совокупность методов статистической обработки результатов испытаний, зависящих от различных одновременно действующих факторов, с целью анализа и оценки существенности влияния данных факторов на отклик.

В отличие от дисперсионного анализа, при проведении которого любые факторы рассматриваются как качественные, в корреляционном анализе могут рассматриваться как качественные, так и количественные факторы, хотя предпочтение отдается последним.

Сущность корреляционного анализа заключается в установлении стохастической зависимости между откликом и факторами и в определении существенности влияния факторов на отклик, степени тесноты стохастической связи между ними. Смысл понятия «корреляционная зависимость» удобнее рассматривать для случая одномерных фактора и отклика, образующих систему случайных величин (X,Y).

Прежде всего, необходимо отметить, что корреляционная зависимость является разновидностью стохастической зависимости и уже по этой причине не является жесткой, функциональной. При изучении такой зависимости между компонентами системы (X,Y) возможны 2 различных подхода к формированию исходных предположений. Первый заключается в том, что определяемые значения переменной X задаются, т.е. не являются случайными. Тогда каждому фиксированному значению х соответствуют некоторые генеральные распределения Y/х с математическим ожиданием M[Y/x] и дисперсией D[Y/x], а наблюдаемые на опыте значения у рассматриваются как выборочные значения из этой генеральной совокупности. Зависимость M[Y/x] = φ_у(х) называется, как уже отмечалось, регрессией Y на Х.

Второй подход к формированию исходных предположений состоит в том, что реализации случайной переменной Х, т.е. значения х, не задаются, а генерируются датчиком нормально распределенных чисел. А так как одно из основных допущений корреляционного анализа, как и дисперсионного, заключается в предположении о том, что участвующие в анализе переменные распределены нормально, это следует признать, что в этом случае реализации Х и Y, наблюдаемые на опыте, будут представлять собою выборку из двумерного нормального распределения. При таком варианте исходных предположений компоненты системы (X,Y) становятся как бы полностью «равноправными». Вследствие чего необходимо вести речь о регрессии Y на Х, но и о регрессии Х на Y, т.е. о зависимости:

M [Х/у] = φ_х(у)

Поэтому приходим к выводу, что корреляционная зависимость, как разновидность стохастической, может быть представлена двумя уравнениями регрессии - φ_у(х) и φ_х(у).

Зависимости φ_у(х) и φ_х(у) могут быть как линейными, так и не линейными. Соответственно различают линейный и нелинейный корреляционный анализ. Обычно предполагается линейный характер этих регрессий. В этом предположении заключается второе из основных допущений корреляционного анализа (первое предполагает нормальность распределения компонент Х и Y). Оно гласит: регрессия имеет линейный или близкий к линейному характер.

Поэтому обычно полагают:

φ_у(х) = β₀ + βх (12.1)

φ_х(у) = γ₀ + γy

Такая связь или корреляция называется парной. Если с увеличением одной из компонент условное среднее другой также возрастает, то корреляция называется положительной, в противном случае – отрицательной.

Для определения коэффициентов в уравнениях (12.1) используются диаграммы или корреляционные поля. Каждая точка такого поля имеет координаты x_i, y_{i ,} соответствующие значениям переменных в i -том опыте. Обработка опытных данных ведется методом наименьших квадратов. В итоге получают оценку b₀ для β₀, b для β и т.д.

Эта процедура называется параметризацией уравнений (12.1).

Определение характера зависимостей φ_у(х) и φ_х(у), т.е. установление формы стохастической связи между компонентами Х и Y, является одной из основных задач корреляционного анализа. Вторая основная задача заключается в определении существенности этой связи, т.е. существенности взаимовлияния компонент Х и Y. С решением этих задач связанны основные процедуры корреляционного анализа, рассмотренные в следующем параграфе.

В заключение отметим основные виды корреляционного анализа. Они различаются:

-по количеству факторов – однофакторный, многофакторный (множественный);

-по количеству откликов – одномерный, многомерный (векторный);

-по форме стохастической связи – линейный, нелинейный.

 

Однофакторный корреляционный анализ.

Основные этапы и соответствующие им процедуры корреляционного анализа рассмотрим на примере однофакторного одномерного анализа, позволяющего изучить взаимовлияние двух случайных компонент – фактора Х и отклика Y.

Первым этапом корреляционного анализа является установление наличия стохастической связи между компонентами Х и Y. Для этого используются рассмотренные ранее процедуры дисперсионного анализа. Если по итогам дисперсионного анализа делается вывод о наличии стохастической связи, то переходят ко второму этапу.

Вторым этапом является установление формы стохастической связи, т.е. решение вопроса о том, линейна она или нелинейна. Решение данной задачи может проводиться качественными и количественными методами.

Качественные методы опираются на анализ поля корреляции, а количественные – на методы построения кривой, наилучшим образом аппроксимирующей результаты наблюдений. В случае использования количественных методов выдвигается гипотеза о типе кривой, а затем осуществляется её параметризация, например, с помощью метода наименьших квадратов. В полном объеме эта процедура рассматривается на заключительных этапах регрессионного анализа.

Третьим, заключительным этапом корреляционного анализа является определение существенности стохастической связи между фактором и откликом.

Если стохастическая связь между переменными является линейной, то мерой этой связи служит парный коэффициент корреляции, определяемый выражением:

r_хy =К_ху/Ϭ_хϬ_у =М[(X-m_х)(Y-m_у)] /Ϭ_хϬ_у (12.2)

Если исследуемые переменные связаны функциональной зависимостью, то r_хy=±1, а в случае их независимости r_хy=0.

На практике используется оценка парного коэффициента корреляции, определяемая по опытным данным:

(12.3)

 

Значимость этой оценки проверяется на основе гипотез:

H₀: r_хy = 0

H₁: r_хy ≠ 0

В случае большой выборки оценка распределена по нормальному закону с параметрами:

M [ ] = 0

D [ ] = (1- r_хy²)² /n

Поэтому основная гипотеза может быть проверена с использованием Z – статистики, при формировании которой следует использовать оценку дисперсии D [ ], т.е.

Если выборка не является большой, то используется статистика

, (12.4)

которая подчиняется t – распределению с числом степеней свободы υ = n-2.

В случае отклонения основной гипотезы выборочный коэффициент корреляции признается значимым с выбранным уровнем значимости. Он характеризует степень приближения стохастической зависимости между переменными к линейной. Для количественной оценки нелинейности используется так называемый коэффициент детерминации ɳ_ху, который определяется как r_хy². Этот коэффициент позволяет ответить на вопрос о том, каково качество описания зависимости с помощью уравнения регрессии. Очевидно, чем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше она описывает соответствующую зависимость переменных и с большей надежностью может быть применена для оценивания значений отклика по заданным значениям фактора.

Можно показать, что r_хy² равен отношению межуровневой дисперсии к общей дисперсии отклика, откуда следует, что коэффициент детерминации характеризует долю так называемой объясненной регрессией дисперсии в общей величине дисперсии. Чем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем эта доля выше. Например, если r_хy =0,9, то ɳ_ху = r_хy² = 0,81. Это значит, что 81% общей дисперсии (общей для среднего значения отклика) определяется уравнением регрессии, т.е. корреляционная связь между откликом и фактором вполне удовлетворительно может быть представлена линейным уравнением, т.к. доля нелинейности сравнительно невелика.

Проверкой значимости оценки r_хy завершаются основные процедуры корреляционного анализа.

 

Лекция 7. Регрессионный анализ и планирование эксперимента.

1). Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.

2). Планирование эксперимента. Как метод реализации процедуры РА. Критерии оптимальности планов.

 

Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.

Регрессионным анализом называется один из видов статистического анализа, представляющий собою совокупность методов обработки результатов испытаний, зависящих от различных одновременно действующих случайных факторов различной природы, с целью построения уравнения регрессии в интересах исследования стохастической взаимосвязи между откликом и факторами.

Таким образом, исходная предпосылка заключается в том, что между случайным откликом Y и случайным вектором факторов X существует стохастическая зависимость вида , где в общем случае может быть как случайной, так и неслучайной функцией случайных аргументов, вид которой неизвестен. Если бы была известна зависимость закона распределения Y от вектора X, то она позволила бы провести всесторонний анализ стохастической взаимосвязи Y и X. Такой путь решения задачи в принципе возможен, но как свидетельствует опыт исследований, не всегда целесообразен. В практике испытаний гораздо чаще используется другой вариант решения, идея которого заключается в том, чтобы установить зависимость какой-либо числовой характеристики Y от возможных значений компонент вектора X в виде неслучайной функции неслучайных аргументов. В регрессионном анализе в качестве такой числовой характеристики используется условное математическое ожидание отклика Y, определяемое при условии, что компоненты вектора X приняли определенные значения: …., ….

Следовательно, в РА используется зависимость вида:

(13.1)

где: ,

- неслучайная функция неслучайных аргументов.

Эта зависимость предназначена для того, чтобы приближенно представлять истинную стохастическую взаимосвязь между откликом и факторами, т.е. она является регрессией отклика на факторы.

Таким образом, в представлении соотношения в виде (13.1) заключается сущность РА, а в построении зависимости (13.1) по результатам испытаний – его цель.

Различают однофакторный и многофакторный, одномерный и многомерный РА, а по виду зависимости – линейный и нелинейный.

В линейном РА зависимость (1) представляют в виде полинома:

где - оценка коэффициентов регрессии ( – оценка для ).

В нелинейном РА зависимость (13.1) обычно включает члены, представляющие так называемые эффекты взаимодействия и степенные эффекты, т.е. члены вида

и т.д.

 

Активный и пассивный эксперимент.

Исходные понятия ТПЭ: фактор, отклик, план эксперимента.

Отклик Y – однокомпонентный вектор. Фактор X – многокомпонентный вектор столбец вида:

X = , j=1,

В каждом опыте участвуют все факторы, так что в i -м опыте имеем:

;

 

Всего опытов N, т.е. i = 1,

 

Матрицей спектра плана эксперимента называется матрицы вида:

X = = N точек с координатами ()

 

Совокупность всех точек в пространстве k факторов, отличающихся уровнями хотя бы одного фактора, называется спектром плана эксперимента.

Опыт в i -х условиях может повторяться n раз, что можно представить матрицей дублирования опытов e:

e =

 

Матрица спектра совместно с матрицей e дает план эксперимента, совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

ПЭ:

точный, если задана;

насыщенный, если N=k (без учёта )

регулярный, если

Разработка плана эксперимента (ПЭ):

Определение пространства факторов

Выбор стратегии испытания

 

Полный факторный эксперимент

1. Принятие решений перед планированием эксперимента.

2. Полный факторный эксперимент типа. Его свойства и математическая модель.

Принятие решений перед планированием эксперимента.

 

Исследование на основе теории планирования эксперимента предполагает использование как формальных, так и не формальных процедур. Последние требуют «Интуитивных решений». Перед планированием эксперимента такие решения должны быть приняты по трем вопросам:

Выбор экспериментальной области факторного пространства, выбор основного уровня факторов и выбор интервала варьирования факторов. При этом предполагается, что сама совокупность исследуемых факторов уже сформирована и цель исследования определена.

Выбор экспериментальной области: ( области определения факторного пространства) прежде всего, означает оценку границ областей определения факторов, т.е. возможных диапазонов изменения каждого из выбранных факторов. При этом обычно учитываются ограничения трех типов.

Первый тип- принципиальные ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип- ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями: стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, времени ведения процесса.

Третий тип ограничений, с которыми чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями эксперимента: существующей аппаратурой, технологией, организацией.

На данном этапе рекомендуется тщательный анализ и активное использование всей имеющейся априорной информации о каждом из выбранных факторов.

Выбор основного уровня: Основным (нулевым) уровнем называется такое значение фактора, относительно которого осуществляется варьирование данным фактором в ходе эксперимента.

Выбор основного уровня зависит от цели исследования. Если цель исследования заключается в характере влияния факторов на отклик, то в качестве основного уровня следует выбирать середину диапазона возможных значений каждого фактора:

где - натуральное значение верхней границы диапазона изменения j -го фактора;

- натуральное значение нижней границы диапазона изменения j -го фактора;

- натуральное значение основного (нулевого) уровня j -го фактора.

В тех случаях, когда целью эксперимента является поиск оптимальных условий, т.е. условий, при которых отклик достигает оптимального значения, в качестве основного уровня для каждого из факторов выбирают координаты так называемой наилучшей точки:

Это такая точка в k -мерном фактором пространстве, в которой получено наилучшее значение отклика. Если такая точка известна из анализа априорной информации, то полагают:

т.е.

Если априорные значения координат наилучшей точки неизвестны, то рекомендуется случайным образом выбрать несколько (минимум две) точек в факторном пространстве, поставить в них предварительные опыты и на этой основе определить лучшую из них. Найденная точка называется центром плана.

Выбор интервалов варьирования факторов заключается в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. В общем случае уровней может быть больше двух. Мы ограничимся двумя.

Представим себе координатную ось, на которой откладываются натуральные значения j -го фактора:

После выбора основного уровня нам известна точка . тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками (нижний уровень) и (верхний уровень) симметричными относительно основного уровня. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это и не обязательно.

Интервалом варьирования факторов называется число, свое для каждого фактора, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни фактора. Обозначается интервал выравнивания через .

Для упрощения записи условий эксперимента масштабы по осям выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал «+1», нижний «-1», а основной-нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью процедуры кодирования факторов:

Где -ко